[科普中國]-斜對(duì)稱行列式

行列式中若關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的元素僅符號(hào)相反，即aij=-aji，則行列式叫做斜對(duì)稱行列式。對(duì)于n階斜對(duì)稱行列式d有關(guān)系式d=(一1)nd，從而可知奇數(shù)階的斜對(duì)稱行列式總是等于01。

定義斜對(duì)稱行列式(skew-symmetric determinant)是類似于斜對(duì)稱矩陣的一種特殊行列式。一個(gè)行列式，如果其主對(duì)角線上的元素全為零，而關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱位置上的元素絕對(duì)值相等符號(hào)相反，則稱為斜對(duì)稱行列式。方陣1

或其行列式，當(dāng) 時(shí)（因此 ），叫做斜對(duì)稱方陣或斜對(duì)稱行列式。例如

相關(guān)定理定理1 方陣A為斜對(duì)稱的必要及充分條件為 。

定理2 為斜對(duì)稱是在且僅在 為斜對(duì)稱時(shí)。

定理3 奇數(shù)次斜對(duì)稱方陣（或其行列式）的附屬方陣（或其行列式）為對(duì)稱的的，但偶數(shù)次斜對(duì)稱方陣（或其行列式）的附屬方陣（或其行列式）仍為斜對(duì)稱的。

定理4 滿秩斜對(duì)稱方陣 的逆方陣 亦為斜對(duì)稱的。

定理5 偶數(shù)次斜對(duì)稱行列式中主對(duì)角線上的元素的余因式均等于0。

定理6 奇數(shù)次斜對(duì)稱行列式恒等于零（或奇數(shù)次斜對(duì)稱方陣為降秩的）。

定理7 偶數(shù)次斜對(duì)稱行列式為其元素的某多項(xiàng)式的完全平方。

定理8 若 為n次降秩斜對(duì)稱方陣，則 。

定理9若 為奇數(shù)次斜對(duì)稱方陣時(shí)，則 。

定理10若 為偶數(shù)次斜對(duì)稱方陣時(shí)，則任何余因式 等于零。偶數(shù)次降秩斜對(duì)稱方陣的附屬附屬方陣為零方陣2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)