[科普中國(guó)]-單群

定義

設(shè) 為群，如果其內(nèi)的正規(guī)子群只有 本身與單位元組成的群（平凡群），則稱之為單群。

例子有限單群循環(huán)群G=Z/3Z，即模3的同余類(lèi)在加法運(yùn)算下形成的群是單群。這是因?yàn)椋鬑是這個(gè)群的一個(gè)子群，則它的階一定是群G的階3的約數(shù)，因?yàn)?是素?cái)?shù)，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=Z/12Z就不是單群。因?yàn)槿我獍⒇悹柸旱淖尤阂欢ㄊ钦?guī)子群，且12為合數(shù)，故很容易找到它的一個(gè)非平凡正規(guī)子群。例如，由模12余0，4，8的同余類(lèi)組成的子群就是它的一個(gè)階為3的正規(guī)子群。類(lèi)似地，整數(shù)集Z與加法運(yùn)算組成的群也不是單群，由偶數(shù)集2Z和加法組成的群是它的一個(gè)非平凡正規(guī)子群。

按照上面的方法可以證明，阿貝爾單群只有素?cái)?shù)階循環(huán)群。最小的非阿貝爾單群是交錯(cuò)群，它的階是60，而且可以證明每一個(gè)階為60的單群都與同構(gòu)。第二小的非阿貝爾單群是射影特殊線性群，它的階是168?？梢宰C明，階為168的單群都與 同構(gòu)。

是有限域上的典型群的一個(gè)例子，它也是一個(gè)有限階李群。除了素?cái)?shù)階循環(huán)群、交錯(cuò)群和有限階李群（包括典型群和例外或纏繞李群）之外的有限單群統(tǒng)稱為散在群，詳見(jiàn)有限單群分類(lèi)。

無(wú)限階單群無(wú)限階交錯(cuò)群，即由整數(shù)的所有偶置換組成的群是單群。另一個(gè)無(wú)限階單群的例子是域上的射影特殊線性群，其中 。

相比之下，要構(gòu)造有限生成的無(wú)限階單群就困難得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼提出，它是希格曼群的子群。其它的例子包括湯普森群T和V。有限表現(xiàn)無(wú)撓(torsion-free)的無(wú)限單群被伯格-莫澤什(Burger-Mozes)構(gòu)建。

分類(lèi)到目前為止，未有對(duì)一般單群進(jìn)行分類(lèi)的方法。

有限單群主條目：有限單群分類(lèi)

有限單群是很重要的，因?yàn)樵谝欢ㄒ饬x上，它們是所有有限群的“基本組成部分”，有點(diǎn)類(lèi)似于素?cái)?shù)是整數(shù)的基本組成部分。

有限單群的結(jié)構(gòu)法伊特－湯普森定理聲稱，所有的奇數(shù)階群都是可解群。因此，除素?cái)?shù)階循環(huán)群外，所有有限單群的階都是偶數(shù)1。

群的非單性判據(jù)西羅測(cè)試：設(shè)n為一正合數(shù)，p是它的一個(gè)素因子。 若在n的所有約數(shù)中只有 1 模p同余于 1，則不存在階為n的單群。

證明：如n為一素?cái)?shù)冪，則階數(shù)為n的群有非平凡的中心，因而不是單群。若n不是素?cái)?shù)冪，則階數(shù)為n的群的每一個(gè)西羅子群都是真子群，由西羅第三定理可知， 階數(shù)為n的群的西羅p-子群的個(gè)數(shù)模p同余于1且為n的約數(shù)。但由上面的假設(shè)，這樣的數(shù)只有1，這表明該群只有一個(gè)西羅p-子群，因此，根據(jù)西羅定理，該西羅子群是正規(guī)子群。根據(jù)上面的討論，它又是一個(gè)真子群，從而它是階數(shù)為n的群的一個(gè)非平凡正規(guī)子群，所以階數(shù)為n的群不是單群2。

重要性“單群”之“單”在于它們不能再化約為較容易處理的群，因?yàn)檎?guī)子群 可以對(duì)將 的一部分研究化約為對(duì)商群 與 的研究，而對(duì)單群無(wú)法行此化約。

有限單群之于有限群論，一如素?cái)?shù)之于整數(shù)論；它們可以被視為有限群的基本構(gòu)件3。