[科普中國]-剪刀下的莫比烏斯帶

剪刀下的莫比烏斯帶

“莫比烏斯帶”這個詞，大家一定不陌生——將一根紙帶扭轉(zhuǎn)180度后兩頭再粘連起來，形成的紙帶圈就叫做莫比烏斯帶。

莫比烏斯最初于1858年，由德國數(shù)學(xué)家奧古斯特·莫比烏斯和約翰·利斯汀獨立發(fā)現(xiàn)。與環(huán)形曲面不同的是，莫比烏斯帶只有一條邊和一個面，因此用它制作的傳送帶，磨損更加均勻，使用壽命更長。莫比烏斯帶也被用來制作針式打印機的色帶，從而可以節(jié)約材料。奧運獎牌、工作牌的帶子設(shè)計成莫比烏斯帶，獎牌就能服帖地平置于胸前。利用莫比烏斯帶制成的磁帶可以使播放時間增加一倍，而且不用翻面。無感電阻、莫比烏斯共振器等電子器件也是利用了其性質(zhì)。至今，莫比烏斯帶已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在雕塑﹑繪畫﹑郵票﹑建筑﹑音樂﹑電影﹑文學(xué)﹑游戲等許多領(lǐng)域。

在數(shù)學(xué)上，莫比烏斯帶沒有正面與反面之分，屬于不可定向曲面的一種。它為現(xiàn)代幾何分支——拓撲學(xué)的發(fā)展起了重要作用。事實上，莫比烏斯帶本身就有著很多神奇的性質(zhì)。

一﹑n等分莫比烏斯帶

想一想，如果我們將莫比烏斯帶的寬度2等分，然后從中剪開，結(jié)果會變成兩根紙帶嗎？答案可能與大多數(shù)人的直覺大相徑庭——是一根繞了4個半圈的紙帶。

那么，如果把莫比烏斯帶n等分，會得到什么呢？

為了敘述方便，下面把繞了k（k≥0）個半圈的紙帶記為Mk。特別的，M1就是莫比烏斯帶，而M0則是紙環(huán)。

實驗發(fā)現(xiàn)：

若n=2，結(jié)果是1個M4；若n=3，結(jié)果是1個M4，1個M1；

若n=4，結(jié)果是2個M4；若n=5，結(jié)果是2個M4，1個M1；

不難發(fā)現(xiàn)：n每增加2，結(jié)果就比之前多1個M4。

這一規(guī)律對任意的n是否都成立呢？

其實不難理解，答案是肯定的。分成的份數(shù)每增加2，可以理解為先沿著邊緣剪了一刀，即相當于把紙帶三等分。因此最后會增加1個M4。

這里給讀者留個問題，用將n張相同的紙條疊在一起，一端扭轉(zhuǎn)180°之后，把這n組端頭依次用膠水粘在一起，制作一個“n層的莫比烏斯帶”，其結(jié)構(gòu)與n等分莫比烏斯帶的結(jié)果拓撲等價嗎？為什么呢？

二、2等分繞了k個半圈的紙帶

在n等分莫比烏斯帶（M1）之后，我們會很自然的想到n等分繞了k個半圈的紙帶（Mk）。不過本文只探究2等分的情況，感興趣的讀者可以自行探究更一般的情況。

實驗發(fā)現(xiàn)：

若k=1，結(jié)果是1個M4；若k=2，結(jié)果是2個M2；

若k=3，結(jié)果是1個M8；若k=4，結(jié)果是2個M4；

若k=5，結(jié)果是1個M12；若k=6，結(jié)果是2個M6；

發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？

我們發(fā)現(xiàn)：如果k是奇數(shù)，會得到1個M(2k+2)；如果k是偶數(shù)，會得到2個Mk。這一規(guī)律對任意的k是否都成立呢？

答案仍然是肯定的。假如我們把紙帶以1/2為界涂成紅、藍兩種顏色，當在扭了奇數(shù)個半圈之后，紅色的端頭會連接藍色，藍色的端頭會連接紅色，因此，結(jié)果只有1根紙帶。那么，為什么k每增加2，扭轉(zhuǎn)半圈數(shù)會增加4呢？可以這樣理解：上下兩半都多擰了2個半圈，疊加在一起，就是4個半圈。

反之，當在扭了偶數(shù)個半圈之后，紅色的端頭連接的依然是紅色端頭，如果這時候?qū)⒓垘Р贸蓛砂耄厝粫玫郊t、藍兩根紙帶，而且其各自的扭轉(zhuǎn)圈數(shù)與總的扭轉(zhuǎn)圈數(shù)相同。

三、2等分組合莫比烏斯帶

前面我們都是等分一條紙帶，如果等分的是組合在一起的兩條莫比烏斯帶（M1）或紙環(huán)（M0），結(jié)果又會怎么樣呢？

1）如果我們分別把兩個M0，M1與M0，兩個M1平行放置，并把其中一小段粘連在一起（分別記作M0+M0、M0+M1、M1+M1），然后按照下圖的方式沿著兩條帶子的中間剪一刀，結(jié)果會得到什么呢？

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第一種情況會得到M0+M0和M0；第二種情況會得到M0+M4；第三種情況，如果兩個M1的扭轉(zhuǎn)方向不同，會得到M0+M0；如果相同，會得到M2+M2，并且這兩個M2是互相套在一起的。

上圖是荷蘭著名版畫家埃舍爾的《騎士》，這一結(jié)構(gòu)是將M2的上下兩條邊部分相連得到的。把其從中間一分為二，得到兩個扭轉(zhuǎn)方向相同的莫比烏斯帶，因此這一結(jié)構(gòu)其實就是M1+M1。

2）如果我們分別把兩個M0，M1與M0，兩個M1垂直粘連在一起（分別記作M0×M0、M0×M1、M1×M1），并從正中間剪開，結(jié)果會得到什么呢？

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，前兩者均得到一個正方形紙環(huán)（M0）。而第三者，如果兩個M1的扭轉(zhuǎn)方向相同，會得到兩條船（M0）；如果不同，會得到兩個套在一起的心形紙帶（M2）。

關(guān)于莫比烏斯帶，可以探究的問題還有很多，例如n等分Mk、n等分M(k1)+M(k2)、n等分M(k1)×M(k2)，還有紙帶之間互相嵌套的情況等等。除此之外，筆者再提出一些問題供廣大讀者探究：這里的加法和乘法，它們是否滿足交換律、結(jié)合律或分配律？這兩種運算能描述什么樣的曲面結(jié)構(gòu)？能否對其做改進，使其能描述盡可能多的曲面結(jié)構(gòu)？

最后提一下，如果將兩個相同的莫比烏斯帶的邊完全粘合在一起，將會得到著名的克萊因瓶（實際上這樣的操作無法在三維空間中實現(xiàn)，因此克萊因瓶只存在于四維及以上的空間中）?？巳R因瓶是一個非常奇特的結(jié)構(gòu)，因數(shù)學(xué)家F.克萊因最先發(fā)現(xiàn)而命名。它只有一個面，沒有邊。一只蒼蠅可以從它的外部飛到它的內(nèi)部，而無需穿過其邊界。

拿起你手中的紙和剪刀，與這個有趣的帶子來一番邂逅吧！

參考資料：

1.十萬個為什么·數(shù)學(xué)卷，少年兒童出版社，p118-119