[科普中國(guó)]-相位裕度

相位裕度可以看作是系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)之前可以增加的相位變化，相位裕度越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定，但同時(shí)時(shí)間響應(yīng)速度減慢了，因此必須要有一個(gè)比較合適的相位裕度。1

增益裕度是以相位為裕度是-180度時(shí)的增益為準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算。傳統(tǒng)的增益裕度與相位裕度是經(jīng)典頻域控制理論中的重要概念，能夠直觀在奈奎斯特圖和波德圖上表示出來(lái)，是衡量閉環(huán)控制系統(tǒng)魯棒性的重要性能指標(biāo)。他們分別表示控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定條件下所能承受的最大增益擾動(dòng)和最大相位擾動(dòng)，以克服控制回路中存在的干擾和對(duì)象不確定性。由于他們能夠直觀、有效的衡量控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，基于增益、相位裕度的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法也受到廣泛關(guān)注。

在電子放大器中，相位裕度（PM）是在零dB增益時(shí)，放大器的輸出信號(hào)（相對(duì)于其輸入）的相位與180°之間的差（單位為度）。

通常開環(huán)相位延遲（相對(duì)于輸入）隨頻率變化，逐步增加到超過(guò)180°，此頻率下輸出信號(hào)（相對(duì)于輸入）反相。PM為正值，但會(huì)隨著頻率下降，在截止頻率（PM = 0）反相，于是在高頻率PM為負(fù)值（PM < 0）。在存在負(fù)反饋時(shí)，環(huán)路增益超過(guò)1情況下PM頻率為零或負(fù)值可以保證系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此PM為正是能保證該電路正常工作（不振蕩）的“安全裕度”。這不僅適用于放大器電路，同樣適用于不同負(fù)載條件（如無(wú)功負(fù)載）下的有源濾波器。在最簡(jiǎn)單的形式中，涉及有非抗性反饋的理想負(fù)反饋電壓放大器，在放大器的開環(huán)電壓增益等于所需閉環(huán)直流電壓增益時(shí)測(cè)定相位裕度。

更一般地，PM是由放大器及其反饋網(wǎng)絡(luò)結(jié)合在一起（通常在放大器輸入處開環(huán)）定義的，在環(huán)路增益為1的頻率測(cè)定，并在閉合回路之前，通過(guò)嘗試輸入源的開環(huán)輸出的方式，將其從中去除。

在上述環(huán)路增益定義中，假設(shè)放大器輸入呈現(xiàn)零負(fù)載。要在零負(fù)載輸入下工作，為了確定該環(huán)路增益的頻率響應(yīng)，反饋網(wǎng)絡(luò)的輸出需要加一個(gè)等效負(fù)載。

假定增益對(duì)頻率的圖象以一個(gè)負(fù)斜率穿過(guò)單位增益僅一次。只有在抗性或有源反饋網(wǎng)絡(luò)（如有源濾波器的情形）才需要這么考慮。1

波德圖是閉環(huán)動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的量度。相位裕度能夠表現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定性（其對(duì)于階躍函數(shù)等輸入變化的阻尼響應(yīng)振蕩的傾向）。增益裕度能夠表現(xiàn)絕對(duì)穩(wěn)定性和給定任意干擾，不加限制，系統(tǒng)會(huì)振蕩的程度。

波德圖是由貝爾實(shí)驗(yàn)室的荷蘭裔科學(xué)家亨德里克·韋德·波德在1930年發(fā)明。波德用簡(jiǎn)單但準(zhǔn)確的方法繪制增益及相位的圖，因此他發(fā)明的圖也就稱為波德圖。2

波德圖幅頻圖的頻率用對(duì)數(shù)尺度表示，增益部分一般都用功率的分貝值來(lái)表示，也就是將增益取對(duì)數(shù)后再乘以20。由于增益用對(duì)數(shù)來(lái)表示，因此一傳遞函數(shù)乘以一常數(shù)，在波德增益圖只需將圖形的縱向移動(dòng)即可，二傳遞函數(shù)的相乘，在波德幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸0分貝以下具有正增益裕度、屬穩(wěn)定區(qū)，反之屬不穩(wěn)定區(qū)：

所有的放大器的輸出信號(hào)相比其輸入信號(hào)都呈現(xiàn)出時(shí)間延遲。此延遲會(huì)引起放大器的輸入和輸出信號(hào)之間的相位差。如果放大器的級(jí)數(shù)足夠多，某一頻率下的輸出信號(hào)就會(huì)比輸入信號(hào)滯后一個(gè)周期。在此情況下，放大器的輸出信號(hào)的相位會(huì)與其輸入信號(hào)的相位相同，雖然滯后了360°，也就是說(shuō)輸出的相位角為?360°。這個(gè)延遲對(duì)使用反饋的放大器有很大影響。原因是：若輸出信號(hào)反饋的相位處于與放大器的開環(huán)電壓增益等于其閉環(huán)電壓增益的頻率且開環(huán)電壓增益為1或更大，則放大器會(huì)振蕩。出現(xiàn)振蕩的原因是輸出信號(hào)反饋會(huì)在該頻率加強(qiáng)輸入信號(hào)。在常規(guī)運(yùn)算放大器中，臨界輸出相位角為?180°，因?yàn)檩敵鍪峭ㄟ^(guò)?180°的反相輸入反饋到輸入的。3

在實(shí)際設(shè)計(jì)中，反饋放大器的相位裕度超出0°許多，盡管相位裕度為1°的放大器理論上就是穩(wěn)定的了。原因在于許多實(shí)際因素會(huì)將相位裕度減小到低于理論最小值。最好的例子就是放大器的輸出連到一個(gè)容性負(fù)載上。因此，運(yùn)算放大器通常要補(bǔ)償?shù)阶钚∠辔辉６葹?5°左右。這一意味著處于開環(huán)與閉環(huán)增益相同的頻率時(shí)相位裕度為?135°。計(jì)算為：-135° - (-180°) = 45°。

為確保足夠的相位裕度所做的補(bǔ)償?shù)姆椒ê徒Y(jié)果的詳細(xì)分析參見(jiàn)Warwick或者Stout。通常放大器都會(huì)設(shè)計(jì)成典型相位裕度為60度。如果典型相位裕度在60度附近，那么最小相位裕度就會(huì)大于45度。相位裕度為60度也是一個(gè)神奇的數(shù)字，因?yàn)楫?dāng)試圖跟隨電壓階躍輸入（巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)）時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短。相位裕度小的放大器會(huì)振鈴較長(zhǎng)時(shí)間，而相位裕度更大的放大器上升到電壓階躍的最終水平所花時(shí)間就會(huì)較長(zhǎng)。4