[科普中國]-分段可微函數(shù)

現(xiàn)在復(fù)習(xí)一下導(dǎo)數(shù)的概念：如果差商極限

存在(有限)，就把這極限值叫做在的導(dǎo)數(shù)(或微商)，記作。單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義：首先，設(shè)在的右極限存在。如果以下差商右極限

存在(有限)，就把這極限值叫做在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)；其次，設(shè)在的左極限存在，如果

存在(有限)，就把這極限值叫做在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)。

如果函數(shù)在閉區(qū)間的每點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)(在點(diǎn)只要右導(dǎo)數(shù)，在b點(diǎn)只要左導(dǎo)數(shù))，就說在區(qū)間可微。其直觀意義就是的圖象在上處處有確定的切線。

可以把在區(qū)間的可微推廣為分段可微：如果能把閉區(qū)間分成有限多個閉區(qū)間，使分別在每個小的閉區(qū)間上可微，就說函數(shù)在上分段可微。例如圖1就表示一個在上分段可微的函數(shù)，分開的小閉區(qū)間就是，這樣分開的小的閉區(qū)間叫做的可微區(qū)間。

如果在整個數(shù)軸上有意義，且在數(shù)軸上的任何閉區(qū)間(長度有限)上分段可微，就說在整個數(shù)軸上分段可微。

分段可微函數(shù)不但可能有有限跳躍，而且其圖象可能有“尖點(diǎn)”，即左、右導(dǎo)數(shù)存在但不相等的連續(xù)點(diǎn)(如圖1中處)2。

關(guān)于分段連續(xù)

（1）如果在數(shù)軸上分段連續(xù)，它在任何閉區(qū)間上分段連續(xù)，就是說，可把分成有限多個小的閉區(qū)間，分別在這些小的閉區(qū)間上連續(xù)。這樣，就分別在這些連續(xù)區(qū)間上可積，從而在可積。

（2）如果在數(shù)軸上分段連續(xù)，那么，在它的連續(xù)區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)上，的極限存在，即左、右極限都存在且相等。在連續(xù)區(qū)間的右端點(diǎn)，例如在圖1中區(qū)間的右端點(diǎn)，的左極限存在。但同時是右方相鄰的連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)，故在的右極限也存在。總而言之，在數(shù)軸上的任何點(diǎn)，分段連續(xù)函數(shù)的左、右極限都存在。在唯一可能的間斷性是，這種間斷性稱為有限跳躍。分段連續(xù)函數(shù)不能具有象在那樣的間斷性。

分段可微函數(shù)

（3）如果在數(shù)軸上分段可微，則它在可微區(qū)間上必連續(xù)，于是在數(shù)軸上分段連續(xù)，根據(jù)（1），知在任何閉區(qū)間上可積。

（4）通過類似（2）中的討論可知，如在數(shù)軸上分段可微，則在數(shù)軸上的任何點(diǎn)都具有左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。

（5）設(shè)只是在長為T的區(qū)間上給出的分段可微函數(shù)，把按周期T延拓到整個數(shù)軸上(仍用表示延拓后的函數(shù))。那么，延拓后的必是數(shù)軸上分段可微的函數(shù)。這時。