[科普中國]-誤差修正模型

誤差修正模型（error correction model，簡記為ECM）是一種具有特定形式的計量經(jīng)濟學(xué)模型，1它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。

概念建立誤差修正模型，首先對變量進行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項。 然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型2。

產(chǎn)生原因誤差修正模型（Error Correction Model）

對于非穩(wěn)定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。如：建立人均消費水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型：

Yt = α0 + α1Xt + μt

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢,進行差分，X,Y成為平穩(wěn)序列，建立差分回歸模型得：

ΔYt = α1ΔXt + vt

式中，vt = μt ? μt ? 1

然而，這種做法會引起兩個問題： (1)如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系 Yt = α0 + α1Xt + μt 且誤差項μt不存在序列相關(guān)，則差分式 ΔYt = α1ΔXt + vt 中的vt是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關(guān)的；(2)如果采用差分形式進行估計，則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略，這時模型只表達了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭示它們間的長期關(guān)系。

因為，從長期均衡的觀點看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分變量也往往會得出不能令人滿意回歸方程。

例如，使用ΔY1 = ΔXt + vt 回歸時，很少出現(xiàn)截距項顯著為零的情況，即我們常常會得到如下形式的方程：

式中，α不等于0.（*）

在X保持不變時，如果模型存在靜態(tài)均衡（static equilibrium），Y也會保持它的長期均衡值不變。但如果使用（*）式，即使X保持不變，Y也會處于長期上升或下降的過程中，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟理論假說不相符?？梢?，簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應(yīng)運而生。

創(chuàng)建模型方法（1）Granger 表述定理

誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點：如 a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題； b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題； c）誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視； d）由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選取。因此，一個重要的問題就是：是否變量間的關(guān)系都可以通過誤差修正模型來表述？就此問題，Engle 與 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger representaion theorem）：

如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述2：

ΔYt = lagged(ΔY,ΔX) ? λμt ? 1 + εt

式中，μt ? 1是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項， λ是短期調(diào)整參數(shù)。

對于(1,1)階自回歸分布滯后模型如果 Yt~I(1), Xt~I(1) ; 那么的左邊ΔYt~I(0) ，右邊的ΔXt ~I(0) ，因此，只有Y與X協(xié)整，才能保證右邊也是I(0)。

因此，建立誤差修正模型，需要首先對變量進行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項。然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。

（2）Engle-Granger兩步法

由協(xié)整與誤差修正模型的的關(guān)系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法：

第一步，進行協(xié)整回歸（OLS法），檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系，估計協(xié)整向量（長期均衡關(guān)系參數(shù)）；

第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應(yīng)參數(shù)。

需要注意的是：在進行變量間的協(xié)整檢驗時，如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設(shè)趨勢項。 另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項序列是否存在自相關(guān)性來判斷，如果存在自相關(guān)，則應(yīng)加入變量差分的滯后項。

（3）直接估計法

也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項括號的方法直接用OLS法估計模型2。 但仍需事先對變量間的協(xié)整關(guān)系進行檢驗。如對雙變量誤差修正模型可打開非均衡誤差項的括號直接估計下式：

這時短期彈性與長期彈性可一并獲得。 需注意的是，用不同方法建立的誤差修正模型結(jié)果也往往不一樣。

結(jié)構(gòu)為了便于理解，我們通過一個具體的模型來介紹它的結(jié)構(gòu)。

假設(shè)兩變量X與Y的長期均衡關(guān)系為:

Yt = α0 + α1Xt + μt

由于現(xiàn)實經(jīng)濟中X與Y很少處在均衡點上，因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系，假設(shè)具有如下(1,1)階分布滯后形式，該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關(guān)，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān)。由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運用OLS法。

對上述分布滯后模型適當(dāng)變形得：

式中，λ = 1 ? μ， 如果將（**）中的參數(shù)，與Yt = α0 + α1Xt + μt中的相應(yīng)參數(shù)視為相等，則（**）式中括號內(nèi)項就是t-1期的非均衡誤差項。（**）式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。同時，（**）式也彌補了簡單差分模型ΔY1 = ΔXt + vt的不足，因為該式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正。(**) 稱為一階誤差修正模型(first-order error correction model)。（**）式可以寫成： 其中:ecm表示誤差修正項。由分布滯后模型知：一般情況下|μ|