[科普中國]-無窮序列

序列(sequence)是數(shù)學分析的基本概念之一，即可用自然數(shù)編號，并按編號從小到大的次序排列的同一類數(shù)學對象。若將序列看做集合，它的元素稱為序列的項，但序列并非一般的集合，序列的項有先后次序，并且不同的項可以是相同的元素。序列可以只有有限項，稱為有限序列，不只有限項的序列稱為無窮序列，這是數(shù)學分析中通常討論的對象。序列按各項順序排列可寫為a1，a2，…，an，…，簡記為{an}。排在第n位的項an稱為第n項，把n看做在自然數(shù)集N中變動時，亦把an稱為通項。序列常隨其所包含的數(shù)學對象使用不同名稱，例如：各項都是數(shù)的序列稱為數(shù)列，各項都是點的稱為點列，各項都是函數(shù)的稱為函數(shù)列。數(shù)列也可看做定義域為自然數(shù)集N或其部分Nk={1，2，…，k}的函數(shù)或映射(f∶n→an)，因此亦稱整序變量。數(shù)列還常用數(shù)軸上的點列表示，所以數(shù)列與直線上的點列可以不加區(qū)分1。

基本介紹定義1設(shè)有按照從左到右的次序所排列的無窮多個如下的數(shù)

就把它叫做無窮序列，簡稱序列。記為。序列中的每一個數(shù)都叫做序列的元素，并把叫做序列的第m個元素(m是一個正整數(shù))2。

定義2序列(sequence)是以序數(shù)為定義域的函數(shù)。設(shè)為一個函數(shù)，為序數(shù)，則稱為一個序列，記為。當時，則稱序列為有窮序列；若，則稱這一序列為n元有序組；若，則稱序列為無窮序列或超窮序列。有時為了某些特殊需要，也將一般的函數(shù)變成一個序列。設(shè)為集合上的函數(shù)，用符號表示此函數(shù)，這時稱此函數(shù)為一個集合序列，稱為指標集。若的值域為序數(shù)集，則稱為一個序數(shù)序列；若的值域為基數(shù)，則稱為基數(shù)序列等3。

序列的分類與子序列如果序列的各元素有如下的關(guān)系

就說它是一個增序列。如果各元素有如下的關(guān)系

就說它是一個不減序列。如果各元素有如下的關(guān)系

就說它是一個減序列。如果各元素有如下的關(guān)系

就說它是一個不增序列。

如果從序列中取出一部分元素(無窮多個)，仍按它們原來的次序排列起來，就得到如下的新序列

它叫做屬于序列的子序列，簡記為。

例如，下面的每一行都是一個序列。其中的第一行是—個增序列，第二行是一個減序列

下面這個序列就是上面第三行的序列的一個子序列：

如果一個序列的一切元素都含在某一有界集內(nèi)，就說這個序列是一個有界序列2。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學