[科普中國]-實(shí)值函數(shù)

所謂實(shí)值函數(shù)，是指這樣的函數(shù)f（X)：X→Y，其中Y是實(shí)數(shù)集R，X可以是復(fù)數(shù)域的子集。“實(shí)值函數(shù)”是指函數(shù)值是“實(shí)數(shù)”，不可以取虛數(shù)或±∞的。

定義如果一個(gè)函數(shù)，它的范圍(值域)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的,那么就稱它為實(shí)函數(shù)，也可以叫實(shí)值函數(shù)。

A function whose range is in the real numbers is said to be a real function.

函數(shù)[function]

函數(shù)即映射，設(shè) X 與 Y 為給定的兩個(gè)集合，f 是某個(gè)法則，每個(gè)按照 f 對應(yīng)唯一的，稱 f 為的一個(gè)函數(shù)（映射）。x 通過 法則 f 對應(yīng)的 y 值記為，x 稱為 自變量(independent variable)，y 稱為因變量。亦稱“函數(shù)”或“ y 是 x 的函數(shù)“。X 稱為定義域；稱為值域。

當(dāng)時(shí)，函數(shù)稱為實(shí)值函數(shù)。特別地，當(dāng) X，Y 均為實(shí)數(shù)集時(shí)，函數(shù)稱為一元函數(shù)或一元實(shí)函數(shù)。

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)是自變量，y 是因變量。

應(yīng)用函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，其概念的形成有較長的歷史過程。在古代數(shù)學(xué)中函數(shù)依賴的思想沒有明顯地表達(dá)出來，而且不是獨(dú)立的研究對象。函數(shù)概念的雛形在中世紀(jì)開始出現(xiàn)于學(xué)者的著作中。

但僅僅在17 世紀(jì)，首先在費(fèi)馬、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨的工作中，函數(shù)才作為一個(gè)獨(dú)立的概念逐漸定形。函數(shù)一詞最先出現(xiàn)在萊布尼茨的著作中，用以表示隨曲線上的點(diǎn)變動的量。

1718 年，約翰第一，伯努利(J.Bernoulli I) 定義函數(shù)為“由變量與常量以任何適當(dāng)方式構(gòu)成的量”。

1755 年，歐拉在《微分學(xué)) 中給出更一般的定義，即函數(shù)都能用解析式表示，這也是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家普遍的看法。

直到1807 年，傅里葉用三角級數(shù)表示更一般的函數(shù)后，函數(shù)才與其表達(dá)方式逐漸分離。

1837 年，狄利克雷用對應(yīng)的觀點(diǎn)給出了區(qū)間上的明確的函數(shù)定義，無須函數(shù)有解析表達(dá)式。狄利克雷的定義沿用至今，有重要的影響。

函數(shù)即映射的定義由戴德金(R.Dedekind) 于1887 年給出。

函數(shù)的概念極其廣泛。例如，在公理化體系的概率定義中，概率實(shí)際上是一種定義在事件城上滿足3 三條公設(shè)的函數(shù)。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)