[科普中國]-三角級數(shù)

在數(shù)學(xué)中，傅里葉級數(shù)是一種三角級數(shù)，傅里葉級數(shù)也常稱為三角級數(shù)。但并不是所有三角級數(shù)都是傅立葉級數(shù)。一個有趣的問題是給定一個三角級數(shù)，當(dāng)x取什么值時級數(shù)收斂。

定義在數(shù)學(xué)中，三角級數(shù)是任何具有下述形式的級數(shù)：

當(dāng) 和 具有以下形式時，該級數(shù)稱為傅立葉級數(shù)：

其中 是可積函數(shù)。

傅里葉級數(shù)是一種三角級數(shù)，傅里葉級數(shù)也常稱為三角級數(shù)。但并不是所有三角級數(shù)都是傅立葉級數(shù)。一個有趣的問題是給定一個三角級數(shù)，當(dāng)x取什么值時級數(shù)收斂。1

康托爾三角級數(shù)唯一定理格奧爾格·康托爾在1870年證明了這一定理。如果三角級數(shù)的和函數(shù)是零，那么，該三角級數(shù)的各項系數(shù)均為零。因此，如果兩個三角級數(shù)的和函數(shù)相等，那么它們的各項系數(shù)也相等。1

傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)中，傅里葉級數(shù)（Fourier series）是把類似波的函數(shù)表示成簡單正弦波的方式。更正式地說，它能將任何周期函數(shù)或周期信號分解成一個（可能由無窮個元素組成的）簡單振蕩函數(shù)的集合，即正弦函數(shù)和余弦函數(shù)（或者，等價地使用復(fù)指數(shù)）。離散時間傅里葉變換是一個周期函數(shù)，通常用定義傅里葉級數(shù)的項進(jìn)行定義。另一個應(yīng)用的例子是Z變換，將傅里葉級數(shù)簡化為特殊情形 |z|=1。傅里葉級數(shù)也是采樣定理原始證明的核心。傅里葉級數(shù)的研究是傅里葉分析的一個分支。

歷史傅里葉級數(shù)得名于法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉(1768年–1830年)，他提出任何函數(shù)都可以展開為三角級數(shù)。此前數(shù)學(xué)家如拉格朗日等已經(jīng)找到了一些非周期函數(shù)的三角級數(shù)展開，而認(rèn)定一個函數(shù)有三角級數(shù)展開之后，通過積分方法計算其系數(shù)的公式，歐拉、達(dá)朗貝爾和克萊羅早已發(fā)現(xiàn)，傅里葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅里葉介入三角級數(shù)用來解熱傳導(dǎo)方程，其最初論文在1807年經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審后被拒絕出版，他的被稱為傅里葉逆轉(zhuǎn)定理的理論后來發(fā)表于1820年的《熱的解析理論》中。將周期函數(shù)分解為簡單振蕩函數(shù)的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀(jì)古代天文學(xué)家的均輪和本輪學(xué)說。

傅里葉級數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

定義在這一節(jié)中， 表示實變量 的一個函數(shù)，且 在 上可積， 和 為實數(shù)。我們將嘗試用諧波關(guān)系的正弦函數(shù)的無窮和或級數(shù)來表示該區(qū)間內(nèi)的 。在區(qū)間外，級數(shù)以 為周期（頻率為 ）。若 也具有該性質(zhì)，則它的近似在整個實數(shù)線上有效。我們可以從有限求和（或部分和）開始：

為周期為P的周期函數(shù)。運用恒等式：

當(dāng)系數(shù)（即傅里葉系數(shù)）以下面方式計算時：

在 近似了 ，該近似程度會隨著N→∞ 逐漸改善。這個無窮和叫做 的傅里葉級數(shù)表示。在工程應(yīng)用中，一般假定傅里葉級數(shù)除了在不連續(xù)點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函數(shù)比數(shù)學(xué)家提供的這個假定的反例表現(xiàn)更加良好。特別地，傅里葉級數(shù)絕對收斂且一致收斂于s(x)，只要在s(x) 的導(dǎo)數(shù)（或許不會處處存在）是平方可積的。 如果一個函數(shù)在區(qū)間 [x0, x0+P]上是平方可積的，那么此傅里葉級數(shù)在幾乎所有點都收斂于該函數(shù)。傅里葉級數(shù)的收斂性取決于函數(shù)有限數(shù)量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件。參見傅里葉級數(shù)的收斂性之一。對于廣義函數(shù)或分布也可以用范數(shù)或弱收斂定義傅里葉系數(shù)。2

延伸希爾伯特空間的解讀所謂的兩個不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關(guān)的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

在希爾伯特空間釋義下，函數(shù)的集合是平方可積函數(shù)的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素f和g的如下內(nèi)積：

三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：

(這里的δmn是克羅內(nèi)克函數(shù))，而

2

傅里葉級數(shù)的收斂性至今還沒有判斷傅里葉級數(shù)的收斂性充分必要條件，但是對于實際問題中出現(xiàn)的函數(shù)，有很多種判別條件可用于判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數(shù)的一致收斂性。在閉區(qū)間上滿足狄利克雷條件的函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利克雷條件如下：

在定義區(qū)間上，x(t)須絕對可積；

在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個極值點；

在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。

滿足以上條件的x(t)傅里葉級數(shù)都收斂，且：

1.當(dāng)t是x(t)的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于x(t)；

2.當(dāng)t是x(t)的間斷點時，級數(shù)收斂于 。

1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函數(shù)的傅立葉級數(shù)一定是幾乎處處收斂的，即級數(shù)在除了一個勒貝格零測集外均收斂。3

參閱離散時間傅里葉級數(shù)

傅里葉變換

維爾斯特拉斯逼近定理

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)