[科普中國]-abel群

阿貝爾群也稱為交換群或可交換群，它是滿足其元素的運算不依賴于它們的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數(shù)集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數(shù)學家尼爾斯·阿貝爾命名。1

阿貝爾群的概念是抽象代數(shù)的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經(jīng)被透底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。

定義阿貝爾群的群運算符合交換律，因此阿貝爾群也被稱為交換群。它由自身的集合G和二元運算* 構(gòu)成。它除了滿足一般的群公理，即運算的結(jié)合律、G有單位元、所有G的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理2

。

因為阿貝爾群的群運算滿足交換律和結(jié)合律，群元素乘積的值與乘法運算時的次序無關(guān)。而群運算不滿足交換律的群被稱為“非阿貝爾群”，或“非交換群”。

符號阿貝爾群有兩種主要運算符號—加法和乘法。

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一般地說，乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調(diào)阿貝爾群是特定群。

乘法表驗證有限群是阿貝爾群，可以構(gòu)造類似乘法表的一種表格（矩陣），它稱為凱萊表。如果群G= {g1=e,g2, ...,gn}在運算?下，則這個表的第(i,j)個表項包含乘積gi?gj。群是阿貝爾群當且僅當這個表是關(guān)于主對角線是對稱的（就是說這個矩陣是對稱矩陣）。

這是成立的因為如果它是于阿貝爾群，則gi?gj=gj?gi。這蘊含了第(i,j)個表項等于第(j,i)個表項，就是說這個表示關(guān)于主對角線對稱的。

歷史注記阿貝爾群是Camille Jordan以挪威數(shù)學家尼爾斯·阿貝爾命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發(fā)表的這種群與根式可解性的聯(lián)系的重要性。

性質(zhì)如果n是自然數(shù)而x是使用加號的阿貝爾群G的一個元素，則nx可以定義為x+x+ ... +x（n個數(shù)相加）并且（?n）x= ?（nx）。以這種方式，G變成在整數(shù)的環(huán)Z上的模。事實上，在Z上的模都可以被識別為阿貝爾群。

關(guān)于阿貝爾群（比如在主理想整環(huán)Z上的模）的定理經(jīng)?？梢酝茝V到在任意主理想整環(huán)上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環(huán)上的有限生成模的結(jié)構(gòu)定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如Z/pkZ對于素數(shù)p的有限多個群的直和，而后者是有限多個Z的復本的直和。

如果f,g:G→H是在阿貝爾群之間的兩個群同態(tài)，則它們的和f+g，定義為(f+g)(x) =f(x) +g(x)，也是阿貝爾同態(tài)。（如果H是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從G到H的群同態(tài)的集合Hom(G,H)因此是自身方式下的阿貝爾群。

某種程度上類似于向量空間的維度，所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無關(guān)元素的最大集合的勢。整數(shù)集和有理數(shù)集和所有的有理數(shù)集的子群都有秩1。3

例子整數(shù)集和加法運算"+"是阿貝爾群，指示為(Z,+)，運算 +組合兩個整數(shù)形成第三個整數(shù)，加法是符合結(jié)合律的，零是加法單位元，所有整數(shù)n都有加法逆元?n，加法運算是符合交換律的因為對于任何兩個整數(shù)m和n有m+n=n+m。

所有循環(huán)群G是阿貝爾群，因為如果x,y在G中，則xy=aman=am+n=an+m=anam=yx。因此整數(shù)集Z形成了在加法下的阿貝爾群，整數(shù)模以nZ/nZ也是。

所有環(huán)都是關(guān)于它的加法運算的阿貝爾群。在交換環(huán)中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數(shù)集是在加法下的阿貝爾群，非零實數(shù)集在乘法下是阿貝爾群。

所有阿貝爾群的子群都是正規(guī)子群，所以每個子群都引發(fā)商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。

矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是2x2旋轉(zhuǎn)矩陣的群。

有限阿貝爾群整數(shù)模以n的循環(huán)群Z/nZ是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構(gòu)于素數(shù)階的有限循環(huán)群的直和，并且這些階數(shù)是唯一確定的，形成了一個不變量（invariant）的完備系統(tǒng)。有限阿貝爾群的自同構(gòu)群可以依據(jù)這些不變量來直接描述。有關(guān)理論最初發(fā)展自費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和Ludwig Stickelberger在1879年的論文，后來被簡化和推廣到在主理想整環(huán)上的有限生成模，形成了線性代數(shù)的一個重要組成部分。

分類

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群G都可以表達為素冪（prime-power）階的循環(huán)子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在G有零秩時的特殊情況。

mn階的循環(huán)群 同構(gòu)于 與 的直和，當且僅當m與n是互素的。可推出任何有限阿貝爾群G同構(gòu)于如下形式的直和

以任何下列規(guī)范方式：

數(shù)k1,...,ku是素數(shù)的冪

k1整除k2，它又整除k3，如此直到ku。

例如， 可以被表達為3階和5階的兩個循環(huán)群的直和： 。對于任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是同構(gòu)的的顯著結(jié)論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構(gòu)于要么 (整數(shù)0到7在模8加法下)， （奇數(shù)1到15在模16乘法下），要么 。

小于等于16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

相關(guān)條目類域論

交換子群

初等阿貝爾群

有限生成阿貝爾群

自由阿貝爾群

龐特里亞金對偶性

秩1無撓阿貝爾群

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學