[科普中國]-預(yù)序關(guān)系

預(yù)序關(guān)系（簡稱預(yù)序，又稱先序，preorder，quasi-order）、在數(shù)學(xué)中，是一類接近于偏序關(guān)系的二元關(guān)系，但僅滿足自反性和傳遞性而不滿足反對稱性。偏序的大多數(shù)理論均可擴展到預(yù)序。

定義考慮集合 P 及其上的二元關(guān)系 。若具有自反性和傳遞性，則稱為預(yù)序。具體來說，對 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性質(zhì)成立：1
自反性：a a

傳遞性：若a b且b c，則a c

帶預(yù)序的集合稱為預(yù)序集合（preordered set，或者proset）。

同時滿足反對稱性（若 a b 且 b a，則 a = b）的預(yù)序為偏序。

另一方面，如果一個預(yù)序滿足對稱性（若a b，則b a），則為等價關(guān)系。

說明作為特例，空集上的空關(guān)系為一預(yù)序?？占由峡贞P(guān)系構(gòu)成一預(yù)序集。

導(dǎo)出偏序?qū)㈩A(yù)序集的等價元素等同起來，可得到由該預(yù)序集所導(dǎo)出的偏序集。具體過程如下：定義預(yù)序集 X 上的等價關(guān)系 ，使得 a b 當(dāng)且僅當(dāng) a b 且 b a。定義所得商集 （所有 的等價類構(gòu)成的集合）上的序關(guān)系 ，使得[x] [y] 當(dāng)且僅當(dāng) x y。由 的構(gòu)造可知， 的定義與所選等價類的代表元素?zé)o關(guān)，故上述定義明確。易證該關(guān)系為一偏序。

舉例有向圖（可以包括圈）上的可到達(dá)關(guān)系給出了一個預(yù)序≤，對于有向圖中的任意兩點x, y，x≤y當(dāng)且僅當(dāng)存在一條由x到y(tǒng)的路徑。反過來說，每個預(yù)序都可理解為一個有向圖上的可到達(dá)關(guān)系。（比如，如果x≤y的話，就規(guī)定這個圖包含由x到y(tǒng)的有向邊。）不過，這種對應(yīng)關(guān)系不是唯一的。不同的圖也可以給出相同的可到達(dá)關(guān)系。而同樣地，有向無環(huán)圖上的可到達(dá)關(guān)系也誘導(dǎo)出一個偏序。

拓?fù)渲芯W(wǎng)的收斂定義使用預(yù)序比使用偏序可避免重要特征的丟失。

可數(shù)全序間的嵌入（embedding）關(guān)系。

圖論中的graph-minor關(guān)系。

全預(yù)序的例子：一般模型中的偏好概念。

參見二元關(guān)系

偏序關(guān)系

全序關(guān)系

等價關(guān)系

有向集合

預(yù)序范疇

預(yù)良序

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

何星 - 副教授 - 上海交通大學(xué)