[科普中國(guó)]-三重積

三重積，又稱混合積，是三個(gè)向量相乘的結(jié)果。向量空間中，有兩種方法將三個(gè)向量相乘，得到三重積，分別稱作標(biāo)量三重積和向量三重積。1

標(biāo)量三重積定義標(biāo)量三重積是三個(gè)向量中的一個(gè)和另兩個(gè)向量的叉積相乘得到點(diǎn)積，其結(jié)果是個(gè)贗標(biāo)量。

設(shè) 為三個(gè)向量，則標(biāo)量三重積的定義為

。

特性設(shè) ，則有

。

證明

利用行列式的特性，可知順序置換向量的位置不影響標(biāo)量三重積的值：

任意對(duì)換兩個(gè)向量的位置，標(biāo)量三重積與原來(lái)相差一個(gè)負(fù)號(hào)：

若任意兩個(gè)向量相等，則標(biāo)量三重積等于零：

其他記號(hào)有時(shí)候，標(biāo)量三重積會(huì)以括號(hào)表示：

幾何意義幾何上，由三個(gè)向量定義的平行六面體，其體積等于三個(gè)標(biāo)量標(biāo)量三重積的絕對(duì)值：

向量三重積向量三重積是三個(gè)向量中的一個(gè)和另兩個(gè)向量的叉積相乘得到的叉積，其結(jié)果是個(gè)向量。1

定義對(duì)于三個(gè)向量 ，向量三重積的定義為

。

值得注意的是，一般來(lái)說(shuō)，

。

特性以下恒等式，稱作三重積展開(kāi)或拉格朗日公式，對(duì)于任意向量 均成立：

英文中有對(duì)于第一式有助記口訣BAC-CAB (BACK-CAB，后面的出租車)，但是不容易記住第一式跟第二式的變化，很容易搞混。 觀察兩個(gè)公式，可得到以下三點(diǎn)：

兩個(gè)分項(xiàng)都帶有三個(gè)向量 ；

三重積一定是先做叉積的兩向量之線性組合；

中間的向量所帶的系數(shù)一定為正（此處為向量b）。

證明我們可以由叉積的定義計(jì)算 的x分量：

類推至y和z分量，可得：

所以

。

利用上述恒等式，可得以下結(jié)果：

（雅可比恒等式）

在向量分析中，有以下與梯度相關(guān)的一條恒等式：

這是一個(gè)拉普拉斯－德拉姆算子的特殊情形。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)