[科普中國]-圓球坐標(biāo)系

圓球坐標(biāo)系，又稱球坐標(biāo)系。在數(shù)學(xué)里，是一種利用球坐標(biāo)表示一個點p在三維空間的位置的三維正交坐標(biāo)系。

標(biāo)記在學(xué)術(shù)界內(nèi)，關(guān)于球坐標(biāo)系的標(biāo)記有好幾個不同的約定。按照國際標(biāo)準(zhǔn)化組織建立的約定，徑向距離、天頂角、方位角，分別標(biāo)記為 。這種標(biāo)記在世界各地有許多使用者。通常，物理界的學(xué)者也采用這種標(biāo)記。而在數(shù)學(xué)界，天頂角與方位角的標(biāo)記正好相反： 被用來代表天頂角， 被用來代表方位角。數(shù)學(xué)界的球坐標(biāo)標(biāo)記是 。這種標(biāo)記的優(yōu)點是較廣的相容性；在二維極坐標(biāo)系與三維圓柱坐標(biāo)系里， 都同樣地代表徑向距離， 也都同樣地代表方位角。本條目采用的是物理標(biāo)記約定。1

定義假設(shè)P點在三維空間的位置的三個坐標(biāo)是 。那么，0 ≤r是從原點到P點的距離，0 ≤θ≤ π是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角，0 ≤φ

這里， 代表天頂角， 代表方位角。當(dāng)時， 與 都一起失去意義。當(dāng) 或 時， 失去意義。

如想要用球坐標(biāo)，找出點P在空間的地點，可按照以下步驟：

1.從原點往正z-軸移動 單位，

2.用右手定則，大拇指往y-軸指，x-軸與z-軸朝其他手指的指向旋轉(zhuǎn) 角值，

3.用右手定則，大拇指往z-軸指，x-軸與y-軸朝其他手指的指向旋轉(zhuǎn) 角值。2

坐標(biāo)系變換概述三維空間里，有各種各樣的坐標(biāo)系。球坐標(biāo)系只是其中一種。球坐標(biāo)系與其他坐標(biāo)系的變換需要用到特別的方程式。

使用以下等式，可從直角坐標(biāo)變換為球坐標(biāo)：

計算 時：

1. 必須依照 所處的象限來計算正確的反正切值。

2. 當(dāng) 時，判斷 的值：

若 ，則

若 ，則

若 ，則 為未定值 ( 因為 為未定式)。

反過來，也可從球坐標(biāo)變換為直角坐標(biāo)：

圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系是極坐標(biāo)系在三維空間往z-軸的延伸。{\displaystyle z}坐標(biāo)用來表示高度。使用以下方程式，可以從球坐標(biāo)變換為圓柱坐標(biāo) ：

反過來，可以從圓柱坐標(biāo)變換為球坐標(biāo)：

球坐標(biāo)系下的積分和微分公式梯度公式：

散度公式：

拉普拉斯算子：3

應(yīng)用地理坐標(biāo)系用兩個角值，緯度與經(jīng)度，來表示地球表面的地點。正如二維直角坐標(biāo)系專精在平面上，二維球坐標(biāo)系可以很簡易的設(shè)定圓球表面上的點的位置。在這里，我們認(rèn)定這圓球是個單位圓球；其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉(zhuǎn)矩陣問題上，這方法是非常有用的。

球坐標(biāo)系適用于分析一個對稱于點的系統(tǒng)。舉例而言，一個圓球，其直角坐標(biāo)方程式為，可以簡易的用球坐標(biāo)系來表示。

當(dāng)求解三重積分時，如果定義域為圓球，則面積元素是：

體積元素是：

用來描述與分析擁有球狀對稱性質(zhì)的物理問題，最自然的坐標(biāo)系，莫非是球坐標(biāo)系。例如，一個具有質(zhì)量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程，在球坐標(biāo)里，都可以成功的使用分離變數(shù)法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函數(shù)的形式。

球坐標(biāo)的概念，延伸至高維空間，則稱為超球坐標(biāo)。4

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)