[科普中國]-半正定矩陣

半正定矩陣是正定矩陣的推廣。實(shí)對稱矩陣A稱為半正定的，如果二次型X'AX半正定，即對于任意不為0的實(shí)列向量X，都有X'AX≥0.1

半正定矩陣概述正定矩陣的研究最先出現(xiàn)于二次型與Hermite型的研究中，而且只限于對實(shí)對稱矩陣或Hermite矩陣的使用。隨著數(shù)學(xué)本身及其它學(xué)科(如數(shù)學(xué)規(guī)劃、投入產(chǎn)出的矩陣?yán)碚?、現(xiàn)代控制等)的需要,有不少人開始研究未必對稱的較為廣義的正定矩陣。2

廣義定義定義1 設(shè)A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有X'AX≥0，其中X‘'表示X的轉(zhuǎn)置，就稱A為半正定矩陣。

狹義定義（常用定義）定義2 設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，若對于每個非零實(shí)向量X，都有X'AX≥0，則稱A為半****正定矩陣，稱X'AX為半正定二次型。（其中，X'表示X的轉(zhuǎn)置。）1

注1：1）設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，若對于每個非零實(shí)向量X，都有X'AX>0，則稱A為正定矩陣，稱X'AX為正定二次型。

2）設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，若對于每個非零實(shí)向量X，都有X'AX