[科普中國(guó)]-n階行列式

n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，逆序數(shù)為偶數(shù)時(shí)帶正號(hào)，逆序數(shù)為奇數(shù)時(shí)帶負(fù)號(hào)，共有n!項(xiàng)。1

簡(jiǎn)介按照一定的規(guī)則，由排成正方形的一組(n個(gè))數(shù)(稱為元素)之乘積形成的代數(shù)和，稱為n階行列式。

例如，四個(gè)數(shù)a、b、c、d所排成二階行式記為 ，它的展開式為ad-bc。

九個(gè)數(shù)a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三階行列式記為 ，它的展開式為a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于線性方程組的求解，在數(shù)學(xué)各分支有廣泛的應(yīng)用。在代數(shù)上，行列式可用來(lái)簡(jiǎn)化某些表達(dá)式，例如表示含較少未知數(shù)的線性方程組的解等。

在1683年，日本的關(guān)孝和最早提出了行列式的概念及它的展開法。萊布尼茲在1693年(生前未發(fā)表)的一封信中，也宣布了他關(guān)于行列式的發(fā)現(xiàn)。2

定義定義1 n階行列式

等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積

的代數(shù)和，這里 是1,2，...，n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng) 是偶排列時(shí)帶有正號(hào)，當(dāng) 是奇排列時(shí)帶有負(fù)號(hào)。這一定義可寫成

這里 表示對(duì)所有n級(jí)排列求和， 表示排列 的逆序數(shù)。

由定義1立即看出，n階行列式是由n! 項(xiàng)組成的。1

n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換，行列式不變。

性質(zhì)2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一個(gè)數(shù)K，等于用數(shù)K乘以行列式。

性質(zhì)3 如果行列式的某行(列）的各元素是兩個(gè)元素之和，那么這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和。

性質(zhì)4 如果行列式中有兩行（列）相同，那么行列式為零。（所謂兩行（列）相同就是說(shuō)兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素都相等）

性質(zhì)5 如果行列式中兩行（列）成比例，那么行列式為零。

性質(zhì)6 把一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式不變。

性質(zhì)7 對(duì)換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號(hào)。1

n階行列式的計(jì)算首先給出代數(shù)余子式的定義。

定義21 在行列式

中劃去元素aij所在的第i行第j列，剩下的(n-1)2個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)n-1階的行列式Mij，稱Mij為元素aij的余子式，Aij=(-1)i+j Mij稱為元素的代數(shù)余子式。

定理1 設(shè)

Aij表示元素aij的代數(shù)余子式，則下列公式成立：

范德蒙德行列式行列式

稱為n級(jí)的范德蒙德（Vandermonde）行列式?？梢宰C明：對(duì)任意的 n（n≥2），n階范德蒙德行列式等于a1，a2，...，an這n個(gè)數(shù)的所有可能的差ai-aj（1≤j