[科普中國]-本構(gòu)方程

簡介

又稱流變方程。描述特定連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動學(xué)量、動力學(xué)量、熱力學(xué)狀態(tài)之間相互關(guān)系的方程。是以應(yīng)力、應(yīng)變和時間關(guān)系來描述物料的流變性質(zhì)。它反映了特定物質(zhì)的固有屬性，隨所研究的具體介質(zhì)和運(yùn)動條件而變。

歸納宏觀實(shí)驗結(jié)果，建立有關(guān)物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和流變學(xué)的重要研究課題。最熟知的本構(gòu)關(guān)系有胡克定律(Hooke's law)、牛頓粘性定律（見粘度）、理想氣體狀態(tài)方程、熱傳導(dǎo)方程等。

建立本構(gòu)關(guān)系時，為保證理論的正確性，須遵循一定的公理 ，即所謂本構(gòu)公理 。例如純力學(xué)物質(zhì)的本構(gòu)公理有三：確定性公理(物體中的物質(zhì)點(diǎn)在時刻t的應(yīng)力狀態(tài)由物體中各物質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動歷史唯一確定）、局部作用公理（物體中的物質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與離開該物質(zhì)點(diǎn)有限距離的其他物質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動無關(guān)）和客觀性公理（物質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)與觀察者無關(guān)）。若考慮更復(fù)雜的情況，本構(gòu)公理的數(shù)目就相應(yīng)增多。求解連續(xù)介質(zhì)動力學(xué)初邊值問題，本構(gòu)關(guān)系是不可少的；否則就無法把握所研究連續(xù)介質(zhì)的特殊性，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為控制方程不封閉，其解不能唯一確定。建立物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系是流變學(xué)的重要任務(wù)，可通過實(shí)驗方法、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法和統(tǒng)計力學(xué)的有機(jī)結(jié)合來完成。然而，尚未找到一個普適的本構(gòu)關(guān)系，需根據(jù)研究對象和流動形態(tài)選用合適的本構(gòu)關(guān)系。理性力學(xué)除對本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行極為一般的研究外，還對彈性物質(zhì)、粘性物質(zhì)、塑性物質(zhì)、粘彈性物質(zhì)、粘塑性物質(zhì)、彈塑性物質(zhì)以及熱和力耦合、電磁和力耦合、熱和力以及電磁耦合等物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行具體研究。2

意義及常用方程連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中描述特定物質(zhì)性質(zhì)的方程。它建立了特定連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動學(xué)量、動力學(xué)量、熱力學(xué)狀態(tài)之間的某些相互關(guān)系。本構(gòu)關(guān)系隨所考慮的具體介質(zhì)和運(yùn)動條件而變。

質(zhì)量、動量、能量守恒律對所有物質(zhì)都適用，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)以各種微分方程，如連續(xù)方程、運(yùn)動方程、平衡方程等為主要研究手段。通常，這些方程中的動力學(xué)量、運(yùn)動學(xué)量（有時還包括熱力學(xué)量），都是未知函數(shù)，其數(shù)目多于體現(xiàn)上述守恒律的方程的個數(shù)。為了求解反映守恒律的方程組，添加了本構(gòu)方程，使自變量的數(shù)目同總的方程數(shù)目相等。所以，本構(gòu)方程是解決連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題中的質(zhì)量、動量、（有時加上）能量守恒定律的必要補(bǔ)充。

客觀上存在的流體、固體多種多樣，運(yùn)動的環(huán)境也千差萬別，為了對問題進(jìn)行深入的研究，本構(gòu)方程只能反映介質(zhì)性質(zhì)的主要方面,否則使問題過于復(fù)雜,理不出頭緒。本構(gòu)方程規(guī)定的介質(zhì)是客觀物質(zhì)的力學(xué)模型。本構(gòu)方程必須反映介質(zhì)和運(yùn)動環(huán)境的主要特點(diǎn)，但又要求簡單，使所列出的方程便于進(jìn)行數(shù)學(xué)計算。

常用的并且是最為成熟的用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的本構(gòu)方程有下列三組：

無粘流體(1)粘度為零，即η=η┡=0，η和η┡為粘度和第二粘度；(2)應(yīng)力張量只是壓力p;(3)密度均勻不變，ρ(x，y，z，t)=常數(shù)，或是在密度顯著變化時采用常比熱完全氣體（見流體力學(xué)的能量方程）的模型：定容比熱容сv=常數(shù)，定壓比熱容 сp=常數(shù)，p=ρRT，式中T為熱力學(xué)溫度，R為普適氣體常數(shù)。單位質(zhì)量內(nèi)能e=сvT，熵S－S0=сvlnpρ-γ，式中γ為сp/сv,S0為某一約定狀態(tài)的熵值。

牛頓流體(1)粘度η=η(T，p),函數(shù)的具體形式隨流體和溫度范圍而變；

(2)應(yīng)力張量的一部分是壓力p,此外，還加上同粘性和變形率（見流體力學(xué)）有關(guān)的張量，其分量為式中Up(U3,U3,U3)為流速U的三個分量;

(3)rho;(x,y,z,t)=常數(shù),或任何形式的具體狀態(tài)方程f1(p,rho;,T)=0,f2(e,p,S)=0。3

完全彈性體（各向同性）是固體力學(xué)中發(fā)展得最為成熟的部分，在直角坐標(biāo)系中它的本構(gòu)方程是應(yīng)力張量的六個分量σxx,σyy,σzz,σxy,σyz,σzx同應(yīng)變張量的六個分量exx,eyy,ezz,exy,eyz,ezx之間的線性關(guān)系，由胡克定律表述 式中E是楊氏模量，v是泊松比，同粘性流體相比，這里既沒有熱力學(xué)量，也沒有對時間的導(dǎo)數(shù)。溫度升高會使金屬膨脹而產(chǎn)生應(yīng)力，要考慮這個效應(yīng)，就應(yīng)補(bǔ)充σij=?(T-T0)，式中的常數(shù)?和線膨脹系數(shù)有關(guān)。

20世紀(jì)20年代開始構(gòu)造塑性力學(xué)的本構(gòu)方程，這遠(yuǎn)比各向同性完全彈性體復(fù)雜，已經(jīng)有很多成功的模型, 然而仍待做更多的研究。從50年代起對1300℃以上的空氣、動載荷下土壤（由土、空隙和水組成，又分軟土、硬土等）做了大量研究。對空氣做得很成功，對土壤（尤其是硬土）至今尚待完善。燃燒產(chǎn)物的本構(gòu)方程，蒸氣和水、煤粉和空氣、煤塊和水等等兩相共存混合物的本構(gòu)方程，不斷出現(xiàn)的新型材料的本構(gòu)方程，都是近代很受重視的研究對象。

建立本構(gòu)方程時既要有理論上的推理、論證，還要有實(shí)驗測定的若干常數(shù)。在研究和使用本構(gòu)方程的長期過程中，人們致力于劃清適用條件，闡明理論模型同實(shí)際的符合程度。

同一種物質(zhì)，在不同的條件下又可以針對所考慮的那一類條件,列出適用于該類條件的本構(gòu)方程。例如,討論水池中波浪，可以用密度rho;=常數(shù)，η=0，應(yīng)力張量只是壓力這一流體模型。但討論水中聲音傳播時則必須考慮密度的變化加上絕熱過程的條件。金屬在載荷小、變形小的條件下可以看作各向同性彈性體；金屬在載荷過大、變形過大條件下會呈現(xiàn)塑性以至斷裂，這時，胡克定律就不適用了。4

金屬切削變形本構(gòu)方程金屬切削過程的本構(gòu)關(guān)系與應(yīng)變、應(yīng)變率、溫度等多種因素有關(guān)，建立切削變形區(qū)內(nèi)工件材料的本構(gòu)方程是研究切削變形的關(guān)鍵。切削過程的本質(zhì)是在一定條件下，工件材料在外力作用下，產(chǎn)生一個從彈性變形※塑性變形(滑移、孿生、晶界滑動、擴(kuò)散性蠕變)※斷裂(切屑與工件分離)的過程，因此切削變形學(xué)的研究可看作是熱—彈塑性非線性問題的一個分支。

金屬切削過程的應(yīng)力 σ與等效應(yīng)變 ε、應(yīng)變率﹒ε、溫度T等多種因素有關(guān)，它們之間的本構(gòu)函數(shù)關(guān)系 σ= f( ε,ε ,T)依靠試驗方法來測定。目前使用較多的切削過程變形應(yīng)力(流動應(yīng)力)測試方法主要有材料力學(xué)試驗測試方法、擊試驗法、切削試驗法及反向求解法等。

金屬切削本構(gòu)關(guān)系的數(shù)學(xué)公式通常首先根據(jù)上述試驗，總結(jié)出經(jīng)驗規(guī)律，獲取材料在比較簡單的應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)方程，然后通過某些理論假設(shè)，把這些試驗結(jié)果推廣應(yīng)用到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)上去，給出數(shù)學(xué)表達(dá)式，構(gòu)造本構(gòu)方程。也就是說，根據(jù)有限的試驗資料，利用某種理論去建立材料的本構(gòu)方程并確定相關(guān)的參數(shù)。5