[科普中國]-塑性全量理論

簡(jiǎn)介

塑性力學(xué)中用全量應(yīng)力和全量應(yīng)變表述彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系的理論，又稱塑性變形理論。1924年H.亨奇從變分原理出發(fā)，得出了一組關(guān)于理想塑性材料的全量形式的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（即本構(gòu)關(guān)系）。它是簡(jiǎn)單加載條件下，增量理論的簡(jiǎn)化方程，所以是塑性加工力學(xué)中最簡(jiǎn)單的本構(gòu)方程。簡(jiǎn)單加載也稱比例加載，是指加載過程中物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量均按比例增加。

此后，蘇聯(lián)的A.A.伊柳辛提出簡(jiǎn)單加載定理，使全量理論更為完整。全量理論的本構(gòu)方程在數(shù)學(xué)表達(dá)上比較簡(jiǎn)單，但它不能反映復(fù)雜的加載歷史，在應(yīng)用上有局限性。

本構(gòu)狀態(tài)方程控制變量變分原理的基礎(chǔ)理論之一是現(xiàn)代控制論中的最優(yōu)控制理論。因此最首要的是確定系統(tǒng)的參數(shù)和建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即所謂“系統(tǒng)辯識(shí)”問題。系統(tǒng)的參數(shù)可分為狀態(tài)變量和控制變量二部分。所謂狀態(tài)變量是指能夠完全描述系統(tǒng)狀態(tài)的最小的一組變量。就彈塑性全量邊值問題而言,確定系統(tǒng)狀態(tài)的物理量有位移ui、應(yīng)變￡lj和應(yīng)力oij共15個(gè)變量，其中有些通過定解方程可以從另一些量導(dǎo)出，有些則因其所描述的定解方程被變分極值的結(jié)果所取代而不必顯式給出，因此完全描述系統(tǒng)并不同時(shí)需要這么多變量。對(duì)于最小勢(shì)能原理，可取位移ui(三個(gè)變量)作為狀態(tài)變量；對(duì)于最小余能原理，狀態(tài)變量取應(yīng)力iaj(共六個(gè))。一般地，對(duì)于廣義變分原理，狀態(tài)變量可以是上述15個(gè)變量中的某些組合，這就要看所選用的能量泛函的形式了。在彈塑性系統(tǒng)中，流動(dòng)參數(shù)d入控制著系統(tǒng)作彈性或塑性狀態(tài)的變化，保證屈服條件不致破壞，因而可作為系統(tǒng)的控制變量。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程是描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)于彈塑性系統(tǒng)來說，描述各物理量之間內(nèi)在聯(lián)系的是本構(gòu)關(guān)系，因此本構(gòu)關(guān)系可以作為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。經(jīng)推導(dǎo)后表達(dá)成一定實(shí)用形式的本構(gòu)關(guān)系稱為本構(gòu)狀態(tài)方程。從可控性的角度考慮，一般要求在控制容許域內(nèi)本構(gòu)狀態(tài)方程能夠保證控制變量具有唯一性。當(dāng)本構(gòu)狀態(tài)方程表達(dá)成線性互補(bǔ)的形式時(shí)，可滿足這一要求，且最終的有限元數(shù)值解呈線性狀態(tài)，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算。1

全量定理的本構(gòu)方程在加載過程中，若應(yīng)力張量各分量之間的比值保持不變。按同一參數(shù)單調(diào)增加，則加載稱為簡(jiǎn)單加載，不滿足這個(gè)條件的叫復(fù)雜加載。在簡(jiǎn)單加載下，用全量應(yīng)力和全量應(yīng)變表達(dá)的本構(gòu)方程為：

式中 和 分別為應(yīng)力偏量的分量和應(yīng)變偏量的分量；

其中稱為等效應(yīng)力，稱為等效應(yīng)變。在全量理論中，為簡(jiǎn)化起見，假設(shè)在簡(jiǎn)單加載條件下曲線是單值對(duì)應(yīng)的，并和簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線一樣。在上訴的全量理論中，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。2

簡(jiǎn)單加載定理塑性全量理論，嚴(yán)格地說，要求結(jié)構(gòu)內(nèi)部每一質(zhì)點(diǎn)的材料都經(jīng)歷簡(jiǎn)單加載的歷史。但實(shí)際結(jié)構(gòu)大多數(shù)是在非均勻應(yīng)力條件下工作的，要保證結(jié)構(gòu)內(nèi)部每一點(diǎn)都滿足簡(jiǎn)單加載條件，對(duì)于結(jié)構(gòu)所承受的載荷和結(jié)構(gòu)的材料必須提出某些要求。伊柳辛指出，如果滿足如下的四個(gè)條件，結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)都經(jīng)歷簡(jiǎn)單加載：①小變形；②所有外載荷都通過一個(gè)公共參數(shù)按比例單調(diào)增加，如有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件；③材料的等效應(yīng)力和等效應(yīng)變之間的關(guān)系可以表示為冪函數(shù)形式；④材料是不可壓縮的。這就是簡(jiǎn)單加載定理。

進(jìn)一步的研究還表明，全量理論不僅在簡(jiǎn)單加載的條件下適用，對(duì)于某些偏離簡(jiǎn)單加載的加載路徑也適用。至于在一般情況下應(yīng)力路徑偏離簡(jiǎn)單加載路徑多遠(yuǎn)仍可使用全量理論的問題，還需要繼續(xù)從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面進(jìn)行研究。由于全量理論的公式比較簡(jiǎn)單，應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算比塑性增量理論方便，因此，使用相當(dāng)廣泛3。

塑性全量理論的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度試驗(yàn)在復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的強(qiáng)度試驗(yàn)中，零組件、構(gòu)件的拉斷、屈服及失穩(wěn)現(xiàn)象是結(jié)構(gòu)破壞過程的主要表現(xiàn)形式。構(gòu)件塑性形態(tài)的產(chǎn)生、發(fā)展直到最后破壞，均與試驗(yàn)過程中構(gòu)件承載的應(yīng)力密切相關(guān)。通常情況下應(yīng)力是判斷結(jié)構(gòu)承載能力最重要的依據(jù)，但結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)檢測(cè)到的直接數(shù)據(jù)是構(gòu)件變形而不是應(yīng)力，所以在研究彈塑性問題時(shí)，把直接檢測(cè)到的應(yīng)變通過應(yīng)力應(yīng)變表述函數(shù)轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)載荷下的確切應(yīng)力至關(guān)重要。

研究彈塑性問題時(shí)，通常使用塑性增量理論或塑性全量理論。在增量理論中，應(yīng)力與應(yīng)變的全量關(guān)系必然與加載路徑有關(guān)，但是，這在復(fù)雜結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中很難搞清楚。在理論研究和大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用全量理論，提出一種新的應(yīng)力應(yīng)變表述函數(shù)，從而為解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性問題提供理論依據(jù)。4