[科普中國(guó)]-定積分

積分分類

**不定積分（**Indefinite integral）

即已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C為常數(shù)).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因?yàn)镕(x)+C的導(dǎo)數(shù)也是f(x)（C是任意常數(shù)）。所以f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個(gè)，是不確定的。我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。即如果一個(gè)導(dǎo)數(shù)有原函數(shù)，那么它就有無限多個(gè)原函數(shù)。

定積分 （definite integral）

定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。1

定義設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b?？芍鲄^(qū)間的長(zhǎng)度依次是：△x1=x1-x0，在每個(gè)子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點(diǎn)ξi（1,2,...,n），作和式 。該和式叫做積分和，設(shè)λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的區(qū)間長(zhǎng)度），如果當(dāng)λ→0時(shí)，積分和的極限存在，則這個(gè)極限叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b]的定積分，記為 ，并稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。2

其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a, b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，∫ 叫做積分號(hào)。

之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)常數(shù)， 而不是一個(gè)函數(shù)。

根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：

特別注意，根據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng)[a,b]區(qū)間恰好為[0,1]區(qū)間時(shí)，則[0,1]區(qū)間積分表達(dá)式為：

性質(zhì)1、當(dāng)a=b時(shí)，

2、當(dāng)a>b時(shí)，

3、常數(shù)可以提到積分號(hào)前。

4、代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和。

5、定積分的可加性：如果積分區(qū)間[a,b]被c分為兩個(gè)子區(qū)間[a,c]與[c,b]則有

又由于性質(zhì)2，若f(x)在區(qū)間D上可積，區(qū)間D中任意c（可以不在區(qū)間[a,b]上）滿足條件。

6、如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥0,則

7、積分中值定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ε在（a，b)內(nèi)使

常用積分法換元積分法如果

（1） ;

（2）x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導(dǎo);

（3）當(dāng)α≤t≤β時(shí)，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,

則

分部積分法設(shè)u=u(x),v=v（x)均在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式：4

（見參考資料1）

分點(diǎn)問題定積分是把函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的圖象[a,b]分成n份，用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個(gè)矩形，再求當(dāng)n→+∞時(shí)所有這些矩形面積的和。習(xí)慣上，我們用等差級(jí)數(shù)分點(diǎn)，即相鄰兩端點(diǎn)的間距Δx是相等的。但是必須指出，即使不相等，積分值仍然相同。我們假設(shè)這些“矩形面積和”

那么當(dāng)n→+∞時(shí)，的最大值趨于0，所以所有的趨于0，所以S仍然趨于積分值.

利用這個(gè)規(guī)律，在我們了解牛頓-萊布尼茲公式之前，我們便可以對(duì)某些函數(shù)進(jìn)行積分。例如我們可以證明對(duì)于函數(shù) 有

我們選擇等比級(jí)數(shù)來分點(diǎn)，令公比

且 那么“矩形面積和”

提取 ，則有

利用等比級(jí)數(shù)公式，得到

其中 設(shè) 令 ，則

令n增加，則s,q都趨于1，因而N的極限為（u+v)/v=u/v+1=k+1.

黎曼積分定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標(biāo)系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個(gè)矩形，然后把某個(gè)區(qū)間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]的面積。實(shí)際上，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)a,b.

我們可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖象無限細(xì)分，再累加起來，而積分的本質(zhì)是求一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)。它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分要寫成積分的形式呢？

定理一般定理**定理1：**設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

定理2**：**設(shè)f(x)區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。

定理3：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在[a,b]上可積。

牛頓-萊布尼茨公式定積分與不定積分看起來風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。把一個(gè)圖形無限細(xì)分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個(gè)理論，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分。這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：

如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述為：一個(gè)定積分式的值，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差。

正因?yàn)檫@個(gè)理論，揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見其在微積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

應(yīng)用1，解決求曲邊圖形的面積問題

例：求由拋物線 與直線 圍成的平面圖形D的面積S.

2，求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t) (v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分。

3，變力做功

某物體在變力F=F(x)的作用下，在位移區(qū)間[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定積分。（見圖冊(cè)“應(yīng)用”）