[科普中國(guó)]-基本初等函數(shù)

分類方法

高等數(shù)學(xué)將基本初等函數(shù)歸為五類：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)1。

數(shù)學(xué)分析將基本初等函數(shù)歸為六類：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、常數(shù)函數(shù)2。

下面一一介紹這些函數(shù)。

冪函數(shù)定義一般地，形如y=xα(α為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)。例如函數(shù)y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0時(shí)x≠0）等都是**冪函數(shù)。**一般形式如下1：

（ α為常數(shù)，且可以是自然數(shù)、有理數(shù)，也可以是任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。）

性質(zhì)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)。

冪函數(shù)取正值

當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

a、圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）(0,0）；

b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；

c、在第一象限內(nèi)，α>1時(shí)，導(dǎo)數(shù)值逐漸增大；α=1時(shí)，導(dǎo)數(shù)為常數(shù)；01時(shí)，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；若00。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函 數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。一般形式如下1：

（a>0, a≠1， x>0,特別當(dāng)α=e時(shí)，記為y=ln x）

性質(zhì)定義域****求解：對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax 的定義域是{x 丨x>0}，但如果遇到對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解，除了要注意大于0以外，還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1，如求函數(shù)y=logx（2x-1）的定義域，需同時(shí)滿足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定義域?yàn)?{x 丨x>1/2且x≠1}。

值域**：**實(shí)數(shù)集R，顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界；

定點(diǎn)**：**對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖像恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）；

單調(diào)性**：**a>1時(shí)，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)；00）

當(dāng)00;

當(dāng)0