[科普中國]-勒讓德函數(shù)

簡介

在數(shù)學(xué)中，勒讓德函數(shù)Pλ，Qλ和相關(guān)的勒讓德函數(shù)Pλ，Qλ是勒讓德多項(xiàng)式與非整數(shù)度的泛化。1

微分方程相關(guān)的勒讓德函數(shù)是勒讓德方程的解

其中復(fù)數(shù)λ和μ分別稱為相關(guān)的勒讓德函數(shù)的度數(shù)和順序。 勒讓德多項(xiàng)式是階數(shù)μ= 0的勒讓德函數(shù)。

這是一個具有三個常規(guī)奇異點(diǎn)（在1，-1和∞）的二階線性方程。 像所有這樣的等式，它可以通過變量的變化被轉(zhuǎn)換為超幾何微分方程，并且其解可以用超幾何函數(shù)來表示。2

公式這些功能實(shí)際上可以用于一般復(fù)雜參數(shù)和參數(shù)：

分母中包含伽馬函數(shù)，2F1是超幾何函數(shù)。

二階微分方程具有第二個解，其定義為Qμλ（z）。

勒讓德P和Q函數(shù)之間有用的關(guān)系是Whipple的公式。3

積分表示勒讓德函數(shù)可以寫成輪廓積分。 例如，

其中輪廓沿正方向繞著點(diǎn)1和z旋轉(zhuǎn)，并且不繞-1。 對于真正的x，我們有4

勒讓德功能為字符Ps的真實(shí)積分表示在L1（G / / K）其中 G // K是SL（2，R）的雙陪集空間（見區(qū)域球面 功能）。 實(shí)際上，L（G / / K）上的傅里葉變換由

其中，

勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式是下列勒讓德微分方程的多項(xiàng)式解：

其中n 為正整數(shù)。

生成函數(shù)勒讓德多項(xiàng)式的生產(chǎn)函數(shù)為

前幾個勒讓德多項(xiàng)式：

正交關(guān)系勒讓德多項(xiàng)式在（-1,1）取決滿足如下的正交關(guān)系式：

第一類勒讓德函數(shù)

其中F為超幾何函數(shù)，v非整數(shù)。如v為整數(shù)，則解為勒讓德多項(xiàng)式

第二類勒讓德函數(shù)