[科普中國(guó)]-數(shù)學(xué)期望

歷史故事

在17世紀(jì)，有一個(gè)賭徒向法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn)，給他出了一道題目：甲乙兩個(gè)人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。當(dāng)比賽進(jìn)行到第四局的時(shí)候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時(shí)由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？

用概率論的知識(shí)，不難得知，甲獲勝的可能性大，甲贏了第四局，或輸?shù)袅说谒木謪s贏了第五局，概率為1/2+(1/2)*(1/2)=3/4。分析乙獲勝的可能性，乙贏了第四局和第五局，概率為(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎，乙的期望所得值為25法郎。這個(gè)故事里出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞，數(shù)學(xué)期望由此而來。1

離散型如果隨機(jī)變量只取得有限個(gè)值或無窮能按一定次序一一列出，其值域?yàn)橐粋€(gè)或若干個(gè)有限或無限區(qū)間，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。

離散型隨機(jī)變量的一切可能的取值 與對(duì)應(yīng)的概率 乘積之和稱為該離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2(若該求和絕對(duì)收斂），記為 。它是簡(jiǎn)單算術(shù)平均的一種推廣，類似加權(quán)平均。

公式離散型隨機(jī)變量X的取值為 ， 為X對(duì)應(yīng)取值的概率，可理解為數(shù)據(jù) 出現(xiàn)的頻率 ，則：

例子某城市有10萬個(gè)家庭，沒有孩子的家庭有1000個(gè)，有一個(gè)孩子的家庭有9萬個(gè)，有兩個(gè)孩子的家庭有6000個(gè)，有3個(gè)孩子的家庭有3000個(gè)。

則此城市中任一個(gè)家庭中孩子的數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，記為X。它可取值0，1，2，3。

其中，X取0的概率為0.01，取1的概率為0.9，取2的概率為0.06，取3的概率為0.03。

則，它的數(shù)學(xué)期望 ，即此城市一個(gè)家庭平均有小孩1.11個(gè)。

定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)： （ 是連續(xù)函數(shù)）

它的分布律為 若 絕對(duì)收斂，則有:

連續(xù)型設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值 為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)。2

若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)可表示成一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x)的積分，則稱X為連續(xù)性隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)（分布密度函數(shù)）。

數(shù)學(xué)期望 完全由隨機(jī)變量X的概率分布所確定。若X服從某一分布，也稱 是這一分布的數(shù)學(xué)期望。

定理若隨機(jī)變量Y符合函數(shù) ，且 絕對(duì)收斂，則有：2

該定理的意義在于：我們求 時(shí)不需要算出Y的分布律或者概率密度，只要利用X的分布律或概率密度即可。

上述定理還可以推廣到兩個(gè)或以上隨機(jī)變量的函數(shù)情況。

設(shè)Z是隨機(jī)變量X、Y的函數(shù) （g是連續(xù)函數(shù)），Z是一個(gè)一維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 ，則有：

區(qū)別離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是由隨機(jī)變量取值范圍(取值)確定。

變量取值只能取離散型的自然數(shù)，就是離散型隨機(jī)變量。例如，一次擲20個(gè)硬幣，k個(gè)硬幣正面朝上，k是隨機(jī)變量。k的取值只能是自然數(shù)0，1，2，…，20，而不能取小數(shù)3.5、無理數(shù) ，因而k是離散型隨機(jī)變量。

如果變量可以在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取任一實(shí)數(shù)，即變量的取值可以是連續(xù)的，這隨機(jī)變量就稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。例如，公共汽車每15分鐘一班，某人在站臺(tái)等車時(shí)間x是個(gè)隨機(jī)變量，x的取值范圍是[0,15），它是一個(gè)區(qū)間，從理論上說在這個(gè)區(qū)間內(nèi)可取任一實(shí)數(shù)3.5、無理數(shù) 等，因而稱這隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量。2

性質(zhì)設(shè)C為一個(gè)常數(shù)，X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量。以下是數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)：2

1.

2.

3.

4.當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，

性質(zhì)3和性質(zhì)4可以推到到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和或之積的情況。

證明：

這里只對(duì)連續(xù)性隨機(jī)變量的情況加以證明，對(duì)離散型的證明只要將證明中的積分 改為和式 即可。

1.永遠(yuǎn)都只能取C，常數(shù)C的平均數(shù)還是它本身。

2.

3.設(shè)二維隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 。

4.若X和Y相互獨(dú)立，其邊緣概率密度函數(shù)為 ，有

應(yīng)用經(jīng)濟(jì)決策假設(shè)某一超市出售的某種商品，每周的需求量X在10至30范圍內(nèi)等可能取值，該商品的進(jìn)貨量也在10至30范圍內(nèi)等可能取值（每周只進(jìn)一次貨）超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，可從其他超市調(diào)撥，此時(shí)超市商品可獲利300元。試計(jì)算進(jìn)貨量多少時(shí)，超市可獲得最佳利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn)的期望值。

分析：由于該商品的需求量（銷售量）X是一個(gè)隨機(jī)變量，它在區(qū)間[10,30]上均勻分布，而銷售該商品的利潤(rùn)值Y也是隨機(jī)變量，它是X的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量的函數(shù)。題中所涉及的最佳利潤(rùn)只能是利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望（即平均利潤(rùn)的最大值）。因此，本問題的解算過程是先確定Y與X的函數(shù)關(guān)系，再求出Y的期望E(Y)。最后利用極值法求出E(Y)的極大值點(diǎn)及最大值。3

抽獎(jiǎng)問題假設(shè)某百貨超市現(xiàn)有一批快到期的日用產(chǎn)品急需處理，超市老板設(shè)計(jì)了免費(fèi)抽獎(jiǎng)活動(dòng)來處理掉了這些商品。紙箱中裝有大小相同的20個(gè)球，10個(gè)10分，10個(gè)5分，從中摸出10個(gè)球，摸出的10個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和即為中獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)，獲獎(jiǎng)如下：

一等獎(jiǎng) 100分，冰柜一個(gè)，價(jià)值2500元；

二等獎(jiǎng) 50分， 電視機(jī)一個(gè)，價(jià)值1000元；

三等獎(jiǎng) 95分， 洗發(fā)液8瓶，價(jià)值178元；

四等獎(jiǎng) 55分， 洗發(fā)液4瓶，價(jià)值88元；

五等獎(jiǎng) 60分， 洗發(fā)液2瓶，價(jià)值44元；

六等獎(jiǎng) 65分， 牙膏一盒， 價(jià)值8元；

七等獎(jiǎng) 70分， 洗衣粉一袋，價(jià)值5元；

八等獎(jiǎng) 85分， 香皂一塊， 價(jià)值3元；

九等獎(jiǎng) 90分， 牙刷一把， 價(jià)值2元；

十等獎(jiǎng) 75分與80分為優(yōu)惠獎(jiǎng)，只収成本價(jià)22元，將獲得洗發(fā)液一瓶；

分析：表面上看整個(gè)活動(dòng)對(duì)顧客都是有利的，一等獎(jiǎng)到就等獎(jiǎng)都是白得的，只有十等獎(jiǎng)才收取一點(diǎn)成本價(jià)。但經(jīng)過分析可以知道商家真的就虧損了嗎？顧客就真能從中獲得抽取大獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)嗎？求得其期望值便可真相大白。摸出10個(gè)球的分值只有11種情況，用X表示摸獎(jiǎng)?wù)攉@得的獎(jiǎng)勵(lì)金額數(shù)，計(jì)算得到E(X)=-10.098，表明商家在平均每一次的抽獎(jiǎng)中將獲得10.098元，而平均每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)邔⒒?10.098元來享受這種免費(fèi)的抽獎(jiǎng)。 從而可以看出顧客真的就站到大便宜了嗎？相反，商家采用這種方法不僅把快要到期的商品處理出去了，而且還為超市大量集聚了人氣，一舉多得。此百貨超市老板運(yùn)用數(shù)學(xué)期望估計(jì)出了他不會(huì)虧損而做了這個(gè)免費(fèi)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，最后一舉多得，從中可看出了數(shù)學(xué)期望這一科學(xué)的方法在經(jīng)濟(jì)決策中的重要性。3

體育比賽問題乒乓球是我們的國(guó)球，上世界兵兵球也為中國(guó)帶了一些外交。中國(guó)隊(duì)在這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中具有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)?，F(xiàn)就乒乓球比賽的安排提出一個(gè)問題：假設(shè)德國(guó)國(guó)隊(duì)（德國(guó)隊(duì)名將波爾在中國(guó)也有很多球迷）和中國(guó)隊(duì)比賽。賽制有兩種，一種是雙方各出3人，三場(chǎng)兩勝制， 一種是雙方各出5人，五場(chǎng)三勝制，哪一種賽制對(duì)中國(guó)隊(duì)更有利？

分析：由于中國(guó)隊(duì)在這項(xiàng)比賽中的優(yōu)勢(shì)，不妨設(shè)中國(guó)隊(duì)中每一位隊(duì)員德國(guó)隊(duì)員的勝率都為60%，接著只需要比較兩個(gè)隊(duì)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望即可。3