[科普中國]-最小元

簡介

一種特殊元素，指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素。令是偏序集， ，如果對每一個(gè) 都有bRx，則稱b是的最小元。對給定的不一定有最小元，若有最小元，則是惟一的。的最小元稱為零元素，記為0。的最小元是的最大元；反之亦真。最小元是惟一的極小元。1

相關(guān)概念極小元偏序集中的一種特殊元素，指偏序集中沒有與它可比較的更小的元素。設(shè)是偏序集， ，若不存在 ，使得 xRb 且 x≠b，則b稱為的極小元。對給定的可以有一個(gè)或多個(gè)極小元，也可以沒有極小元。若a與b是的兩個(gè)不同的極小元，則 且 。當(dāng)B為有限集時(shí)，一定有極小元。1

極大元偏序集中的一種特殊元素，指偏序集中沒有比它更大的可比較的元素。設(shè)是偏序集， ，若不存在 ，使得 bRx 且x≠b，則b稱為的極大元。對給定的可以有一個(gè)或多個(gè)極大元，也可以沒有極大元。若a與b是的兩個(gè)不同的極大元，則 且 。當(dāng)B為有限集時(shí)，一定有極大元。1

最大元一種特殊元素，指偏序集的子集中不小于一切元素的元素。令是偏序集， ，如果對每一個(gè)都有xRb，則稱b是的最大元。對給定的不一定有最大元，若有最大元，則是惟一的。的最大元稱為單位元，記為1。的最大元是的最小元；反之亦真。最大元是惟一的極大元。1

區(qū)分設(shè)偏序集，B含于A；

①若y∈B滿足任取x∈B，y≤x→x=y，則稱y為B的極大元；(箭頭表示“蘊(yùn)含”)

②若y∈B滿足任取x∈B，x≤y，則稱y為B的最大元；

易得最大元必是極大元，但極大元不一定是最大元，應(yīng)注意極大元和最大元的區(qū)別。 最大元是B中最大的元素，它與B中其它元素都可比；而極大元不一定與B中其它元素都可比，只要沒有比它大的元素，它就是極大元。對于有窮集合B，極大元一定存在，但最大元不一定存在。最大元如果存在一定是唯一的，但極大元可能有多個(gè)。

請注意極小元和最小元的區(qū)別。最小元是B中最小的元素，它與B中其它元素都可比；而極小元不一定與B中其它元素都可比，只要沒有比它小的元素，它就是極小元。對于有窮集合B極小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在一定是唯一的，但極小元可能有多個(gè)。2