[科普中國(guó)]-主曲率

簡(jiǎn)介

過(guò)曲面上某個(gè)點(diǎn)上具有無(wú)窮個(gè)正交曲率，其中存在一條曲線使得該曲線的曲率為極大，這個(gè)曲率為極大值 ，垂直于極大曲率面的曲率為極小值 。這兩個(gè)曲率屬性為主曲率。他們代表著法曲率的極值。

曲率的分類平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三個(gè)基本要素。

主曲率和主方向?qū)η鍿 : r = r(u, v)上一給定點(diǎn)P0(u0, v0)，法曲率kn是切方向du : dv的函數(shù)，稱法曲率的每個(gè)臨界值(critical value)為曲面在這一點(diǎn)的主曲率；對(duì)應(yīng)的方向稱為曲面在這一點(diǎn)的主方向。1

定理定理1曲面在非臍點(diǎn)處，兩個(gè)主方向互相垂直。2

定理2曲面上一點(diǎn)由方程 所確定的兩個(gè)切方向互相垂直的充要條件是 ，這里E、F、G是曲面的第一類基本量。

證明：兩個(gè)方向du:dv和δu:δv 正交的充要條件是

換一種寫(xiě)法即

將已知的二次方程寫(xiě)成

將 是它的兩個(gè)根，且均應(yīng)滿足上述方程，由根與系數(shù)的關(guān)系知

將上式代入式（1）即得引理。

定理3曲面在非臍點(diǎn)處的主曲率是曲面在這點(diǎn)沿所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

證明：設(shè)k1、k2 是兩個(gè)主曲率，不妨設(shè)k1 0，雙曲點(diǎn)處K