[科普中國]-零向量

向量

在數(shù)學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大?。╩agnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（物理學中稱標量）。

向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。1如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（并于頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數(shù)對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向墻而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關(guān)的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系，例如向量勢對應于物理中的勢能。

幾何向量的概念在線性代數(shù)中經(jīng)由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數(shù)對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區(qū)分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當?shù)亩x，在向量空間上介定范數(shù)和內(nèi)積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

定義長度為零的向量是零向量2，也即模等于零的向量，記作0。

性質(zhì)注意零向量的方向是無法確定的。但我們規(guī)定：零向量的方向與任一向量平行，與任意向量共線，與任意向量垂直。

零向量的方向不確定，但模的大小確定。但是注意向量與向量不能比較大小。例如，若向量a的模大于零，則向量a大于零向量的說法是錯誤的，因為實數(shù)之間可用比較大小，而向量之間不能比較大小。

零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

運算規(guī)律1.a+o=a

**2.**a-o=a

3.a·o=o·a=o(a為非向量)

4.a+（-a）=0

思考與探究（1）零向量的方向不是任意的，而是無法確定的

我們知道既有大小，又有方向的量叫做向量，而零向量概念只規(guī)定其大小為0，并沒有談及方向問題，那么零向量的方向到底怎樣呢?按照向量的概念，零向量也是有方向的。由于受到有些教輔書的誤導，不少的老師和學生都認為“零向量的方向是任意的”，我想這種說法的根據(jù)可能就是“零向量與任意向量平行”的規(guī)定，但是，李文明3認為這種說法是錯誤的，因為兩個非零向量平行是指同向或反向的兩個向量，“零向量與任意向量平行”的這種規(guī)定，并沒有規(guī)定零向量方向如何。當規(guī)定中的任意向量是非零向量，我們也不能認為零向量的方向與這個非零向量的方向相同或相反;當規(guī)定中的任意向量是零向量，我們更是無法確定兩個零向量的方向。由此可見，零向量的方向應該是“不確定的”，或者說是無法確定的，也就是說給我們一個零向量，沒有人能夠指出它的方向。換句話說零向量(起點與終點重合的向量)是退化的向量，它已經(jīng)退化到只能確定其大小，而無法確定其方向的一類特殊向量。

（2）零向量與任意向量都是平行的

這是平行向量概念中的明確規(guī)定，也就是說零向量與任意向量都是共線的;這種規(guī)定使得任意兩個平面向量的位置關(guān)系只有兩種:共線或不共線，二者必居其一，也就是說平面向量可以分為兩類:一類是共線向量，一類是不共線向量;不共線的兩個向量一定是兩個非零向量。3

例題例1，判斷下列命題的真假

（1）a·b=a·c可以推出a=0或b=c****

（2）a·（b**·c**********）-（a·b）·c=0********

（1）假

（2）假

例2，與a平行的單位向量的個數(shù)有：

答當a不是零向量時，有兩個；當a是零向量是有無數(shù)個。所以答案是兩個或無數(shù)個。