[科普中國]-丟番圖方程

定義

丟番圖方程又名不定方程、整系數(shù)多項(xiàng)式方程，是變量僅容許是整數(shù)的多項(xiàng)式等式；即形式如下圖的方程，其中所有的、和c均是整數(shù)，若其中能找到一組整數(shù)解者則稱之有整數(shù)解。

丟番圖問題有數(shù)條等式，其數(shù)目比未知數(shù)的數(shù)目少；丟番圖問題要求找出對(duì)所有等式都成立的整數(shù)組合。對(duì)丟番圖問題的數(shù)學(xué)研究稱為丟番圖分析1。

3世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家亞歷山大城的丟番圖曾對(duì)這些方程進(jìn)行研究。

丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數(shù)解、四平方和定理和費(fèi)馬最后定理等。

歷史概述丟番圖方程是數(shù)論中最古老的分支之一。 古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。 Diophantus，古代希臘人，被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖，流傳下來關(guān)于他的生平事跡并不多。今天我們稱整系數(shù)的不定方程為「Diophantus方程」，內(nèi)容主要是探討其整數(shù)解或有理數(shù)解。他有三本著作，其中最有名的是《算術(shù)》，當(dāng)中包含了189個(gè)問題及其答案，而許多都是不定方程組 (變量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù))或不定方程式 (兩個(gè)變數(shù)以上)。丟番圖只考慮正有理數(shù)解，而不定方程通常有無窮多解的。

研究不定方程要解決三個(gè)問題：1.判斷何時(shí)有解。2.有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù)。3.求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個(gè)不定方程組問題，公元5世紀(jì)的《 張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志中國對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設(shè)x，y，z分別表雞翁、母、雛的個(gè)數(shù)，則此問題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解x，y，z，這是一個(gè)三元不定方程組問題。

丟番圖生平代數(shù)之父─丟番圖（Diophantine）是一位古希臘的大數(shù)學(xué)家，為第一位懂得使用符號(hào)代表數(shù)來研究問題的人。 其中丟番圖最著名的可能就是他的墓志銘了：

「墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。

上帝給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。

五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。

悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過四年，他也走完了人生的旅途。 」

我們可以從中知道：“丟番圖的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又過了1/7才結(jié)婚，5年后生子，子先父4年而卒，壽為其父之半?！庇?jì)算丟番圖的方程為X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X，X = 84，由此知道丟番圖享年84歲。

分析希爾伯特第十問題1900年，希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個(gè)問題中的第10題。1970年，一個(gè)數(shù)理邏輯的結(jié)果馬蒂雅謝維奇定理（Matiyasevich's theorem）說明：一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個(gè)算法能夠判定任何丟番圖方程式是否有解，甚至，在任何相容于皮亞諾算數(shù)的系統(tǒng)當(dāng)中，都能具體構(gòu)造出一個(gè)丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。

現(xiàn)代研究* 丟番圖集是遞歸可枚舉集。

* 常用的方法有無窮遞降法和哈賽原理。

* 丟番圖逼近研究了變量為整數(shù)，但系數(shù)可為無理數(shù)的不等式。

小學(xué)分式解法丟番圖是一個(gè)人，他的生命是一個(gè)整體1

他的生命一共經(jīng)歷了以下一些關(guān)鍵點(diǎn)：

1/6、1/12、1/7、5年、1/2、4年，然后他死了

1/2是怎么得來的呢？因?yàn)樗暮⒆映錾螅剿暮⒆铀懒说倪@段時(shí)間，占丟番圖生命的一半，所以這段時(shí)間記為1/2，

綜上所述，他的生命一共由1/6+1/12+1/7+1/2和9年組成，那么問題很簡單了，就是你要知道這9年占據(jù)他一生的幾分之幾呢？

當(dāng)然是1-(1/6+1/12+1/7+1/2)

因?yàn)閺囊婚_始就說了，丟番圖的生命是一個(gè)整體1

所以他的年齡有多大呢？反過來，就是

9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）

對(duì)括號(hào)里面的分式進(jìn)行通分，很簡單就解出來了

明白了嗎？ 9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）=9除以（9/84），當(dāng)然是84歲了。