[科普中國]-三角多項式

簡介

在數(shù)學中，三角多項式是一類基于三角函數(shù)的函數(shù)的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函數(shù)sin(nx) 和余弦函數(shù)cos(nx) 的和的函數(shù)，其中的x 是變量，而n 是一個自然數(shù)。三角多項式中每一項的系數(shù)可以是實數(shù)或者復數(shù)。如果系數(shù)是復數(shù)的話，那么這個三角多項式是一個傅里葉級數(shù)。

三角多項式在許多數(shù)學分支，如數(shù)學分析和數(shù)值分析中都有應用，例如在傅里葉分析中，三角多項式被用于傅里葉級數(shù)的表示，在三角插值法中，三角多項式被用于逼近周期性函數(shù)。

定義形如

的多項式，式中系數(shù)，為任意給定的實數(shù)，不全為零。稱為此三角多項式的階數(shù)。任何一個三角多項式都是周期的周期函數(shù)，因此對于三角多項式的研究往往只要在長為的半開區(qū)間中進行。任何兩個三角多項式的和、差、積仍然是個三角多項式，而且,若與分別為階與階三角多項式，且，則是個階不超過的三角多項式，是階為的三角多項式。利用歐拉公式

其中，

任意一個階三角多項式都可寫成：

式中

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階三角多項式在任一長為的半開區(qū)間中，最多只有個零點。因此,若兩個階三角多項式在長為的半開區(qū)間中有個點處取值相同，則此兩個三角多項式完全相同。

對于階三角多項式，記

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常稱為Tn的Lp范數(shù)，若1≤p≤p┡≤∞，則

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此外還有如下的尼科利斯基不等式

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特別有

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伯恩斯坦不等式設Tn(x)是n階三角多項式,Tń(x)是它的導數(shù)，則有不等式

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這是1912年С.Η.伯恩斯坦發(fā)現(xiàn)的，稱為伯恩斯坦不等式。其中系數(shù)n不能再減小，例如對任何常數(shù)A及α，Tn(x)=A sin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不等式在函數(shù)逼近論中起著重要的作用,并且有著各種拓廣。例如,С.Б.斯捷奇金于1948年證明,對任何n階三角多項式Tn(x)及自然數(shù)k1，都有

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共軛三角多項式對給定的n階三角多項式Tn(x)，記

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稱為Tn(x)的共軛三角多項式。對于共軛三角多項式的導數(shù)有不等式

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這里系數(shù)n也是不能減小的。

應該指出,對于復系數(shù)三角多項式Tn(x)（即諸系數(shù)αk,bk為復數(shù)），同樣有

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于是，對于自然數(shù)k，有

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應用自然,三角多項式是一類簡單的周期函數(shù),但是，它是近似表示一般的周期函數(shù)的有效工具，隨著三角多項式的階的增高，任何連續(xù)的周期函數(shù)都可以借助于三角多項逼近到預先給定的程度。反之如果已知這種逼近程度的收斂于零的速度，也就有可能推出被逼近函數(shù)的構造性質,這個事實本身是有著深刻的物理意義的,周期運動的分解便是一個明顯的例證。三角多項式是在其他數(shù)學、物理、力學等領域中有著廣泛的應用。