[科普中國]-最小值

簡介

在數(shù)學(xué)分析中，在給定范圍內(nèi)（相對極值）或函數(shù)的整個(gè)域（全局或絕對極值），函數(shù)的最大值和最小值被統(tǒng)稱為極值（極數(shù)）。皮埃爾·費(fèi)馬特（Pierre de Fermat）是第一位提出函數(shù)的最大值和最小值的數(shù)學(xué)家之一。

如集合論中定義的，集合的最大和最小值分別是集合中最大和最小的元素。 無限集，如實(shí)數(shù)集合，沒有最小值或最大值。1

定義對于在X上定義的實(shí)值函數(shù) ，對于X中的所有x，如果滿足 ，那么 就是全局（或絕對）最大點(diǎn)。類似地，對于X中的所有x，如果 ，那么 就是全局（或絕對）最小點(diǎn)，則最大點(diǎn)處的函數(shù)值稱為函數(shù)的最大值，最小點(diǎn)處的函數(shù)值被稱為函數(shù)的最小值。

如果域X是度量空間，那么如果存在 ，則 在點(diǎn) 處具有局部（或相對）最大點(diǎn)，使得所有x的 ，X在 的距離 內(nèi)。類似地，對于距離ε內(nèi)的X中的所有x，如果 ，函數(shù)具有局部最小點(diǎn)。當(dāng)X是拓?fù)淇臻g時(shí)，可以使用類似的定義，因?yàn)閯偛沤o出的定義可以根據(jù)鄰域進(jìn)行重新表述。

在全體和局部的情況下，可以界定嚴(yán)格最值的概念。例如，如果對于 ≠ 的X中的所有x，我們有 ，那么 是一個(gè)嚴(yán)格的全局最大點(diǎn)；如果存在 ，使得對于 的距離 內(nèi)的X中的所有x， ≠ ，我們有 ， 是嚴(yán)格的局部最大點(diǎn)。注意，當(dāng)且僅當(dāng)它是唯一的全局最大點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)是嚴(yán)格的全局最大點(diǎn)，并且對于最小點(diǎn)也是類似的。2

具有緊湊域的連續(xù)實(shí)值函數(shù)總是具有最大點(diǎn)和最小點(diǎn)。一個(gè)重要的例子是其域是實(shí)數(shù)的閉（有界）間隔的函數(shù)（見下圖）。

尋找函數(shù)最大值和最小值找到全局最大值和最小值是數(shù)學(xué)優(yōu)化的目標(biāo)。如果函數(shù)在閉合間隔上是連續(xù)的，則通過最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必須是域內(nèi)部的局部最大值（或最小值），或者必須位于域的邊界上。因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看內(nèi)部的所有局部最大值（或最小值），并且還查看邊界上的點(diǎn)的最大值（或最小值），并且取最大值或最?。┮粋€(gè)。

費(fèi)馬定理可以發(fā)現(xiàn)局部極值的微分函數(shù)，它表明它們必須發(fā)生在臨界點(diǎn)?？梢酝ㄟ^使用一階導(dǎo)數(shù)測試，二階導(dǎo)數(shù)測試或高階導(dǎo)數(shù)測試來區(qū)分臨界點(diǎn)是局部最大值還是局部最小值，給出足夠的可區(qū)分性。

對于分段定義的任何功能，通過分別查找每個(gè)零件的最大值（或最小值），然后查看哪一個(gè)是最大（或最?。业阶畲笾担ɑ蜃钚≈担?。

舉例（1）函數(shù) 在x = 0時(shí)具有唯一的全局最小值。

（2）函數(shù) 沒有全局最小值或最大值。雖然x = 0時(shí)的一階導(dǎo)數(shù) 為0，但這是一個(gè)拐點(diǎn)。

（3）函數(shù) 在x = 1 / e處的正實(shí)數(shù)具有唯一的全局最大值。

（4）函數(shù) 具有一階導(dǎo)數(shù) 和二階導(dǎo)數(shù) 。將一階導(dǎo)數(shù)設(shè)置為0并求解x給出在-1和+1的平穩(wěn)點(diǎn)。從二階導(dǎo)數(shù)的符號，我們可以看到-1是局部最大值，+1是局部最小值。請注意，此函數(shù)沒有全局最大值或最小值。

（5）函數(shù)| x |在x = 0處具有全局最小值，由于導(dǎo)數(shù)在x = 0處不存在，因此不能通過獲取導(dǎo)數(shù)來找到。

（6）函數(shù)cos（x）在0，±2π，±4π，...無限多的全局最大值，無限多的全局最小值在±π，±3π，...。

（7）函數(shù) 具有無限多的局部最大值和最小值，但沒有全局最大值或最小值。

（8）在閉合區(qū)間（段）[-4,2]上定義的函數(shù) 在 處具有局部最大值， 處的局部最小值，x = 2處的全局最大值，x = -4處的全局最小值。

多變量函數(shù)對于多個(gè)變量的函數(shù)，也適用相似的條件。例如，在下側(cè)的（可放大）圖中，局部最大值的必要條件與僅具有一個(gè)變量的函數(shù)的條件相似。關(guān)于z（要最大化的變量）的第一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在最大值為零（圖中頂部的發(fā)光點(diǎn)）。第二偏導(dǎo)數(shù)為負(fù)。由于可能存在鞍點(diǎn)，這些只是局部最大值的必要條件。為了使用這些條件來求解最大值，函數(shù)z也必須是可以區(qū)分的。第二個(gè)偏導(dǎo)數(shù)測試可以幫助將點(diǎn)分類為相對最大值或相對最小值。相比之下，在全局極值識別中，一個(gè)變量的函數(shù)和多個(gè)變量的函數(shù)之間存在實(shí)質(zhì)性差異。例如，如果在實(shí)線上的閉合間隔上定義的有界可微分函數(shù)f具有單個(gè)臨界點(diǎn)（這是局部最小值），則它也是全局最小值（使用中間值定理和Rolle定理來證明這一點(diǎn)））。作為函數(shù)顯示。 其唯一的關(guān)鍵點(diǎn)是（0,0），這是?（0,0）= 0的局部最小值。但是，它不是全局的，因?yàn)?（2,3）= -5。

關(guān)于集也可以為集合定義最大值和最小值。一般來說，如果有序集S具有最大的元素m，則m是最大元素。此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相對于由T誘導(dǎo)的階數(shù)的S的最大元素，則m是T中S的最小上限。類似的結(jié)果適用于最小元素，最小元素和最大的下限。

在一般的部分順序的情況下，最小元素（小于所有其他元素）不應(yīng)該與最小元素混淆（沒有更?。?。同樣，部分有序集合（poset）的最大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的最大元素m是A的元素，使得如果m≤b（對于任何b在A）然后m = b。元素的最小元素或最大元素是唯一的，但是poset可以具有幾個(gè)最小或最大元素。如果一個(gè)poset有多個(gè)最大元素，那么這些元素將不會相互比較。

在完全有序的集合或鏈中，所有元素都是相互可比的，所以這樣的集合可以具有至多一個(gè)最小元素和最多一個(gè)最大元素。然后，由于相互的可比性，最小元素也將是最小元素，最大元素也將是最大的元素。因此，在一個(gè)完全有序的集合中，我們可以簡單地使用最小和最大值。如果鏈條是有限的，那么它總是具有最大值和最小值。如果一個(gè)鏈?zhǔn)菬o限的，那么它不需要最大或最小。例如，自然數(shù)的集合沒有最大值，盡管它具有最小值。如果無限鏈S有界，則集合的閉包Cl（S）偶爾具有最小值和最大值，在這種情況下，它們分別稱為集合S的最大下限和最小上限。3