[科普中國(guó)]-群同構(gòu)

同構(gòu)

兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)(例如兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng))，當(dāng)它們的元素及各自所定義的運(yùn)算一一對(duì)應(yīng)，并且運(yùn)算結(jié)果也保持一一對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這兩個(gè)系統(tǒng)同構(gòu)，記為≌。它們對(duì)于所定義的運(yùn)算，具有相同的結(jié)構(gòu)。例如，十進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)是同構(gòu)的。

建立同構(gòu)關(guān)系的映射，稱(chēng)為同構(gòu)映射。例如，當(dāng)映射為一一映射，并且對(duì)應(yīng)元素關(guān)于運(yùn)算保持對(duì)應(yīng)時(shí)，就是同構(gòu)映射。

同構(gòu)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一。在很多情況，一個(gè)難題往往可以化成另一個(gè)同構(gòu)的、似乎與它不相關(guān)的、已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而使原問(wèn)題方便地得到解決。雖然數(shù)學(xué)發(fā)展得越來(lái)越復(fù)雜，但利用同構(gòu)概念，不僅使數(shù)學(xué)得到簡(jiǎn)化，而且使數(shù)學(xué)變得越來(lái)越統(tǒng)一。表面上似乎不同，但本質(zhì)上等價(jià)的結(jié)果，可以用統(tǒng)一的形式表達(dá)出來(lái)。例如，如果四色定理得到了證明，其他數(shù)學(xué)分支中與它同構(gòu)的幾十個(gè)假設(shè)，也同時(shí)得到了證明。

設(shè)G與G’是兩個(gè)群，如果有 一個(gè)由G到G’上的|-|映射σ，使經(jīng)(ab)=σ(a)σ(b)對(duì)所有的a，b∈G都成立，么就說(shuō)G同構(gòu)于G’，記作G?G’。適合以上條件的映射叫做同構(gòu)映射(或簡(jiǎn)稱(chēng)同構(gòu))。群G到自身的同構(gòu)叫做自同構(gòu)。

自同構(gòu)設(shè)E為群胚，幺半群，群，環(huán)，向量空間，代數(shù)或酉代數(shù)。從E到其自身上的同構(gòu)稱(chēng)為E的自同構(gòu)。

賦以合成法則(f，g)?g°f后，E的自同構(gòu)集是一個(gè)群，自然地稱(chēng)為E的自同構(gòu)群，記為Aut(E).例如，設(shè)E為交換體K上的向量空間. E的同位相似是自同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)它的比不為零. ——現(xiàn)假定E為有限維的。為使E的自同態(tài)是自同構(gòu)，必須且只須它是單射，或是雙射。2

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱(chēng)為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱(chēng)為“乘積”)滿(mǎn)足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱(chēng)G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿(mǎn)足交換律的群，稱(chēng)為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱(chēng)，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)。可以說(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱(chēng)，是伽羅華在1830年首先提出的。

自同構(gòu)群一種特殊的群。指群自身的映射所構(gòu)成的群。群G的所有自同構(gòu)在映射的合成運(yùn)算下構(gòu)成的一個(gè)群，稱(chēng)為群G的自同構(gòu)群，常記為Aut(G)。

重要的幾何變換群。是幾何學(xué)分類(lèi)的依據(jù)。設(shè)S是給定的空間，U是S上的一個(gè)圖形，若S到自身的一個(gè)變換g把U變到U自身，則稱(chēng)g是關(guān)于U的自同構(gòu)變換，簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)于U的自同構(gòu)。S上關(guān)于U的自同構(gòu)變換的全體構(gòu)成一個(gè)變換群，稱(chēng)它為關(guān)于U的自同構(gòu)群。在變換中保持不變的這個(gè)圖形U稱(chēng)為絕對(duì)形。例如，在射影平面上取一條直線(xiàn)作無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)，則在射影平面上保持無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)不變的自同構(gòu)射影變換構(gòu)成一個(gè)變換群，它是關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)的自同構(gòu)群，同時(shí)它也是二維射影變換群的子群，即仿射變換群。

圖的自同構(gòu)群亦稱(chēng)節(jié)點(diǎn)群。圖論中一類(lèi)重要的群。它是圖G的所有自同構(gòu)形成的群。自同構(gòu)群為平凡群的圖稱(chēng)為幺圖。柯尼希(Ko¨nig，D.)證明：任何一個(gè)有限抽象群同構(gòu)于某個(gè)圖的自同構(gòu)群。圖G的所有自同態(tài)形成一個(gè)半群，稱(chēng)為圖G的自同態(tài)半群。任何一個(gè)有單位元的有限半群同構(gòu)于某個(gè)圖的自同態(tài)半群。作用在圖G的邊集E上的自同構(gòu)群稱(chēng)為G的邊群，又稱(chēng)線(xiàn)群。由各種圖的運(yùn)算得來(lái)的復(fù)合圖的群用構(gòu)成它的各個(gè)圖的群的復(fù)合表示出來(lái)，稱(chēng)這種表示為復(fù)合圖的群。以下為常用的結(jié)果：3

1.補(bǔ)圖的群：Γ(G-)=Γ(G).

2.同構(gòu)不交并圖的群：Γ(nG)=Sn[Γ(G)].

3.不同構(gòu)不交并圖的群：

Γ(G1∪G2)=Γ(G1)+Γ(G2).

4.不交并圖的群：

Γ(G1+G2)=Γ(G1)+Γ(G2)

的充分必要條件為G-1沒(méi)有連通片同構(gòu)于G-2的連通片。