[科普中國(guó)]-自由積

定義

這個(gè)群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，并且是有以上性質(zhì)的群之中“最一般”的。自由積一定是無(wú)限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構(gòu)造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構(gòu)造出的最一般的群）相似。1

建構(gòu)方式若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：2

其中 是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡(jiǎn)化：

除去其中的（G或H的）單位元，

將其中的g1g2一對(duì)元素以其在G中的積代替，將其中的h1h2一對(duì)元素以其在H中的積代替。

每個(gè)簡(jiǎn)約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：

自由積G?H的元素是以G和H形成的簡(jiǎn)約字，其上的運(yùn)算是將兩字接合后簡(jiǎn)化。

例如若G是無(wú)窮循環(huán)群，H是無(wú)窮循環(huán)群，則G?H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時(shí)G?H同構(gòu)于以x和y生成的自由群。

設(shè) 是群的一個(gè)族。用 形成的字，也可以用上述操作簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)約字。

仿上可定義出 的自由積。

表示設(shè) 3

是G的一個(gè)展示（SG是生成元的集合，RG是關(guān)系元的集合）

又設(shè)

是H的一個(gè)展示。那么

即是G?H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關(guān)系是G的關(guān)系元和H的關(guān)系元所組成。（兩者都是不交并。）

性質(zhì)將 自然地映射到 的群同態(tài)是內(nèi)射，故此這個(gè)群同態(tài)將 嵌入到 中為子群。3

泛性質(zhì)設(shè)G是群， 是由群組成的一個(gè)族，有一族群同態(tài) 。那么存在唯一的群同態(tài) ，使得對(duì)所有 都有 。

其中 是把 嵌入到 中的群同態(tài)。4

推廣共合積（英語(yǔ)：amalgamated (free) product或free product with amalgamation，法語(yǔ)：produit (libre) amalgamé）是自由積的推廣。設(shè)G和H是群，又設(shè)F是另一個(gè)群，并有群同態(tài)。1

及

對(duì)F中所有元素f，在自由積G?H中加入關(guān)系

便得出其共合積。換言之，在G?H中取最小的正規(guī)子群N，使得上式左方的元素都包含在內(nèi)，則商群就是共合積 。

共合積可視為在群范疇中圖表 的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，兩個(gè)路徑連通的拓?fù)淇臻g沿著一個(gè)路徑連通子空間接合的并，其基本群是這兩個(gè)拓?fù)淇臻g的基本群的共合積。

共合積及與之相近的HNN擴(kuò)張，是討論在樹(shù)上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。