[科普中國(guó)]-阿廷模

定義

阿廷模是與諾特模對(duì)偶的概念，即滿足極小條件的模。若A模M的任一子模降鏈M1M2…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足降鏈條件。模M是阿廷模的充分必要條件是它滿足降鏈條件。若將環(huán)A看做左A模時(shí)它是阿廷模，則稱環(huán)A是左阿廷環(huán)(關(guān)于右的情形完全類似)。有單位元的阿廷環(huán)一定是諾特環(huán)。1

性質(zhì)若 A 是 k-代數(shù)，任何在 k 上有限維的 A-模都是阿廷模。 若 ，且 N 與 M / N 皆為阿廷模，則 M 為阿廷模。 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。 阿廷模與環(huán)的性質(zhì)差異之一，在于有非諾特模的阿廷模，以下將給出一個(gè)例子： 令 ，視之為 -模。升鏈 不會(huì)固定，因此 M 并非諾特模。然而我們知道 M 的任何子模皆形如 ，由此可知任何降鏈皆可寫成 其中 ni + 1 | ni，故將固定，于是 M 是阿廷模。

諾特模一種重要的模。它是阿廷模的對(duì)偶概念。即滿足極大條件的模。若A模M的任一子模升鏈M1M2…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足升鏈條件。模M是諾特模的充分必要條件是它滿足升鏈條件；也等價(jià)于，M的每個(gè)子模是有限生成的。若將環(huán)A看做左A模時(shí)它是諾特模，則稱A是左諾特環(huán)(關(guān)于右的情形完全類似)。諾特環(huán)是一類概括廣的重要環(huán)，它在代數(shù)幾何等學(xué)科中有很大的應(yīng)用價(jià)值。域上的多元多項(xiàng)式及其商環(huán)(因而代數(shù)曲線、代數(shù)曲面的坐標(biāo)環(huán))都是諾特環(huán)。

模一個(gè)重要的代數(shù)系統(tǒng)。它是一個(gè)帶算子區(qū)A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，并且這個(gè)積滿足條件：2

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區(qū)，稱M為帶算子區(qū)A的模，又稱為A上的模或A模。這時(shí)，由對(duì)應(yīng)(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運(yùn)算。任意a∈A可誘導(dǎo)出M的自同態(tài)aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)， a→aM.

特別地，考慮A是結(jié)合環(huán)，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環(huán)同態(tài)，則稱M為左A模或左環(huán)模。由于A到M上的運(yùn)算是寫在左側(cè)，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉?；蜱勰！?/p>

人物簡(jiǎn)介——阿廷代數(shù)學(xué)家。生于奧地利維也納。1916年在維也納大學(xué)學(xué)習(xí)了一個(gè)學(xué)期后加入步兵團(tuán)；1919年進(jìn)萊比錫大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，1921年獲博士學(xué)位;隨即去格廷根大學(xué)一年;后到漢堡大學(xué)，1923年為不支薪講師，1925年升副教授，1926年升教授。1937年移居美國(guó)，先后在圣母大學(xué)和印第安那大學(xué)執(zhí)教。1946—1958年執(zhí)教普林斯頓大學(xué)。1958年回到漢堡大學(xué)。1962年因心力衰竭逝世。

阿廷被公認(rèn)為現(xiàn)代抽象代數(shù)學(xué)的先驅(qū)。1923年，他在研究非阿貝爾L級(jí)數(shù)時(shí)提出廣義互易律猜想，并于1927年證明之，從而解決了希爾伯特第9問(wèn)題。他還利用這個(gè)互易律把著名的希爾伯特主猜想歸結(jié)為純粹群論問(wèn)題，后來(lái)被P·H·富特文格勒證明(1930)。1926年，他引進(jìn)實(shí)域的概念，從而肯定地解決了希爾伯特第17問(wèn)題：n個(gè)變量的正定有理式能否表示成有理式的平方和?1944年，他提出“阿廷環(huán)”的概念，這是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的基本概念之一。阿廷提出過(guò)許多著名猜想，給代數(shù)學(xué)研究以巨大的推動(dòng)。例如他在20年代提出了函數(shù)域上的黎曼猜想(韋伊于1941年給予證明)，非阿貝爾L級(jí)數(shù)是亞純的(布饒爾于1947年證明)并且也有黎曼猜想的性質(zhì)(至今尚未證明);30年代他猜測(cè)有限域是擬代數(shù)閉域(幾乎立即被謝瓦萊證明)等等。他還猜測(cè)如果一個(gè)單群的階g能夠被p>g整除，則這個(gè)群必屬于已知類型(被布饒爾等于1958年證明)。他對(duì)三維空間的紐結(jié)理論研究也有貢獻(xiàn)。

阿廷熱愛講授各級(jí)課程，范·德·瓦爾登的名著《代數(shù)學(xué)》就是根據(jù)他和E·諾特的講課記錄整理而成的。他的著作包括《伽羅瓦理論》(Galois Theo-ry， 1942)，《代數(shù)數(shù)與代數(shù)函數(shù)》(Algebraic Numbers andAlgebraic Functions， 1950)和《幾何代數(shù)》(Geometric Alge-bra， 1957)等。1965年，斯普林格出版社出版了阿廷的文集，其中包括了他的全部49篇論文。3

人物簡(jiǎn)介——諾特德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家。猶太人。生于德國(guó)埃爾朗根，1897年入埃爾朗根女子學(xué)院，1900年入埃爾朗根大學(xué)，1904年正式注冊(cè)成為大學(xué)生，1907年在A·戈頓指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。1910年以后，她先后在艾哈德·史密特和恩斯特·費(fèi)歇爾的指導(dǎo)下進(jìn)行研究，1915年應(yīng)邀赴格廷根大學(xué)工作，因?yàn)槭桥?，她一直沒(méi)有得到正式教職。后來(lái)，在D·希爾伯特和F·克萊因的支持下，1919年6月才成為格廷根大學(xué)的講師，1922年4月成為編外副教授。1928—1929年應(yīng)邀赴莫斯科大學(xué)講學(xué)，并出席第八屆國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)。1933年4月，作為猶太人被納粹政府趕出大學(xué)校園，同年10月被迫移居美國(guó)，任布林·莫爾女子學(xué)院教授，1934年同時(shí)在普林斯頓高級(jí)研究所工作，1935年因外科手術(shù)事故去世。終身未婚。

諾特是20世紀(jì)最富有獨(dú)創(chuàng)性的女?dāng)?shù)學(xué)家，她的數(shù)學(xué)思想直接影響了30年代以后代數(shù)學(xué)乃至代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展。她在戴德金等人的零星結(jié)果的基礎(chǔ)上建立了抽象代數(shù)學(xué)體系，成為抽象代數(shù)學(xué)的奠基人之一。

諾特的早期(1907-1919)工作主要研究代數(shù)不變式及微分不變式，在博士論文《n元形的不變式理論》中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函數(shù)域的有限有理基的存在問(wèn)題。對(duì)有限群的不變式具有有限基給出一個(gè)構(gòu)造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，并在格廷根大學(xué)的就職論文中，討論了李群下不變式問(wèn)題，給出諾特定理，把對(duì)稱性、不變性和物理的守恒律聯(lián)系在一起，至今仍然是物理學(xué)中的基本定理之一。1920-1927年間，她主要研究交換代數(shù)。1916年后，開始接觸戴德金等人的工作，并于1920年引入“左?！?、“右模”的概念，1921年在《數(shù)學(xué)紀(jì)事》上發(fā)表了交換代數(shù)(抽象環(huán)論)的奠基性的文獻(xiàn)《整環(huán)的理想理論》，文中建立了交換諾特環(huán)理論，并證明了準(zhǔn)素分解定理。1926年，在論文《代數(shù)數(shù)域及代數(shù)函數(shù)域的理論的抽象構(gòu)造》中給出了戴德金環(huán)一個(gè)公理刻畫，還得到了素理想因子唯一分解定理的充要條件。這兩篇論文奠定了交換環(huán)論及其應(yīng)用的基礎(chǔ)。1927-1935年，她更多地轉(zhuǎn)向了非交換領(lǐng)域、表示論和超復(fù)數(shù)系的一般算子理論，在論文《超復(fù)數(shù)與表示論》(1929)和《非交換代數(shù)》(1933)和另三篇關(guān)于范數(shù)剩余與主定理的論文中，她把表示論、理想理論及模理論統(tǒng)一在“超復(fù)數(shù)”這一代數(shù)的基礎(chǔ)上，并聯(lián)系弗羅貝尼烏斯的表示論形成系統(tǒng)的代數(shù)理論。而后又把抽象理論用到數(shù)論等方面，證明了代數(shù)主定理，即：代數(shù)數(shù)域上的中心可除代數(shù)是循環(huán)代數(shù)。4