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算法實(shí)例

函數(shù)f(x)±g(x)最小正周期的求法

定義法概念：根據(jù)周期函數(shù)和最小正周期的定義，確定所給函數(shù)的最小正周期。

例1、求函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

解:∵ =|sinx|+|cosx|

=|－sinx|+|cosx|

=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|

=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|

=f(x+π/2)

對定義域內(nèi)的每一個(gè)x，當(dāng)x增加到x+π/2時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此函數(shù)的最小正周期是π/2.（如果f（x+T）=f（x），那么T叫做f（x）的周期）。

例2 、求函數(shù)的最小正周期。

解：把看成是一個(gè)新的變量z,那么2sinz的最小正周期是2π。

由于。所以當(dāng)自變量x增加到x+4π且必須增加到x+4π時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。

∴函數(shù)的最小正周期是4π。

公式法這類題目是通過三角函數(shù)的恒等變形，轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一種函數(shù)的形式，用公式去求，其中正余弦函數(shù)求最小正周期的公式為T=2π/|ω| ，正余切函數(shù)T=π/|ω|。

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是；函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是，運(yùn)用這一結(jié)論，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0）一類三角函數(shù)的最小正周期（這里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函數(shù)）。

例3、求函數(shù)y=cotx－tanx的最小正周期.

解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2· x)/tanx=2*(1－tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x

∴T=π/2

函數(shù)為兩個(gè)三角函數(shù)相加，若角頻率之比為有理數(shù)，則函數(shù)有最小正周期。

最小公倍數(shù)法設(shè)f(x)與g(x)是定義在公共集合上的兩個(gè)三角周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，且T1≠T2，則f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍數(shù)，分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)=T1,T2分子的最小公倍數(shù)/T1、T2分母的最大公約數(shù)。

求幾個(gè)正弦、余弦和正切函數(shù)的最小正周期，可以先求出各個(gè)三角函數(shù)的最小正周期，然后再求期最小公倍數(shù)T,即為和函數(shù)的最小正周期2。

例4、求函數(shù)y=sin3x+cos5x的最小正周期.

解：設(shè)sin3x、cos5x的最小正周期分別為T1、T2，則T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.

例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.

解：∵sin3x與tan2x/5 的最小正周期是2π/3與5π/2,其最小公倍數(shù)是10π/1=10π.

∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.

說明：幾個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)，我們約定為各分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù)為分子，各分母的最大公約數(shù)為分母的分?jǐn)?shù)。

圖象法概念：作出函數(shù)的圖象，從圖象上直觀地得出所求的最小正周期。

例6、求y=|sinx|的最小正周期.

解：由y=|sinx|的圖象

可知y=|sinx|的周期T=π.

例7、求下函數(shù)的最小正周期。