[科普中國(guó)]-二次型

介紹

二次型是n個(gè)變量上的二次齊次多項(xiàng)式。下面給出一個(gè)、兩個(gè)、和三個(gè)變量的二次形式：1

其中a, ...,f是系數(shù)。注意一般的二次函數(shù)和二次方程不是二次形式的例子，因?yàn)樗鼈儾豢偸驱R次的。

任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個(gè) (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式可視化為圓錐曲線。

術(shù)語(yǔ)二次型也經(jīng)常用來(lái)提及二次空間，它是有序?qū)Γ╒,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個(gè)點(diǎn)之間的距離可以采用涉及六個(gè)變量的二次形式的平方根來(lái)找到，它們是這兩個(gè)點(diǎn)的各自的三個(gè)坐標(biāo)。

歷史二次型的系統(tǒng)研究是從18世紀(jì)開(kāi)始的，它起源于對(duì)二次曲線和二次曲面的分類(lèi)問(wèn)題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀，這個(gè)問(wèn)題是在18世紀(jì)引進(jìn)的?？挛髟谄渲髦薪o出結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，二次曲面用二次型的符號(hào)來(lái)進(jìn)行分類(lèi)。然而，那時(shí)并不太清楚，在化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)。西爾維斯特回答了這個(gè)問(wèn)題，他給出了n個(gè)變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒(méi)有證明。這個(gè)定律后被雅克比重新發(fā)現(xiàn)和證明。1801年，高斯在《算術(shù)研究》中引進(jìn)了二次型的正定、負(fù)定、半正定和半負(fù)定等術(shù)語(yǔ)。2

二次型化簡(jiǎn)的進(jìn)一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)在歐拉的著作中，拉格朗日在其關(guān)于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個(gè)概念。而三個(gè)變數(shù)的二次型的特征值的實(shí)性則是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。

柯西在別人著作的基礎(chǔ)上，著手研究化簡(jiǎn)變數(shù)的二次型問(wèn)題，并證明了特征方程在直角坐標(biāo)系的任何變換下不變性。后來(lái)，他又證明了n個(gè)變數(shù)的兩個(gè)二次型能用同一個(gè)線性變換同時(shí)化成平方和。

1851，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時(shí)需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類(lèi)。在他的分類(lèi)方法中他引進(jìn)了初等因子和不變因子的概念，但他沒(méi)有證明“不變因子組成兩個(gè)二次型的不變量的完全集”這一結(jié)論。

1858年，維爾斯特拉斯對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和給出了一個(gè)一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，這個(gè)化簡(jiǎn)也是可能的。維爾斯特拉斯比較系統(tǒng)的完成了二次型的理論并將其推廣到雙線性型。

定義設(shè)V是在交換環(huán)R上的模；R經(jīng)常是域比如實(shí)數(shù)，在這種情況下V是向量空間。1

映射Q:V→R被稱(chēng)為在V上的二次形式，如果

Q(av) =aQ(v)對(duì)于所有 和 ，并且

2B****(u,v) =Q(u+v) ?Q(u) ?Q(v)是在V上的雙線性形式。

這里的B被稱(chēng)為相伴雙線性形式；它是對(duì)稱(chēng)雙線性形式。盡管這是非常一般性的定義，經(jīng)常假定這個(gè)環(huán)R是一個(gè)域，它的特征不是2。

V的兩個(gè)元素u和v被稱(chēng)為正交的，如果B(u,v)=0。

雙線性形式B的核由正交于V的所有元素組成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u組成。 如果2是可逆的，則Q和它的相伴雙線性形式B有同樣的核。

雙線性形式B被稱(chēng)為非奇異的，如果它的核是0；二次形式Q被稱(chēng)為非奇異的，如果它的核是0。

非奇異二次形式Q的正交群是保持二次形式Q的V的自同構(gòu)的群。

二次形式Q被稱(chēng)為迷向的，如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否則它稱(chēng)為非迷向的。二次空間的一個(gè)向量或子空間也可以被稱(chēng)為迷向的。如果Q(V)=0則Q被稱(chēng)為完全奇異的。

性質(zhì)二次形式的一些其他性質(zhì)：

Q服從平行四邊形定律：

向量u和v是關(guān)于B正交的，當(dāng)且僅當(dāng)

對(duì)稱(chēng)雙線性在低層的域的特征不是2的時(shí)候，二次形式等價(jià)于對(duì)稱(chēng)雙線性形式。

二次形式總是生成對(duì)稱(chēng)雙線性形式（通過(guò)極化恒等式），而反過(guò)來(lái)要求除以2。

注意對(duì)于任何向量u∈V

2Q(u) =B(u,u)

所以如果2在R中是可逆的（在R是一個(gè)域的時(shí)候這同于有不是2的特征），則我們可以從對(duì)稱(chēng)雙線性形式B恢復(fù)二次形式，通過(guò)

Q(u) =B(u,u)/2.

當(dāng)2是可逆的時(shí)候，這給出在V上的二次形式和V上的雙線性形式之間的一一映射。如果B是任何對(duì)稱(chēng)雙線性形式，則B(u,u)總是二次形式。所以在2是可逆的時(shí)候，這可以用作二次形式的定義。但是如果2不是可逆的，對(duì)稱(chēng)雙線性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能寫(xiě)為形式B（u,u）。

我們?cè)诙S情況下描述這種等價(jià)。任何2維二次形式可以被寫(xiě)為

我們對(duì)在這個(gè)向量空間的任何向量寫(xiě)x=（x,y）。二次形式F可以表達(dá)為矩陣，如果我們?cè)O(shè)M是2×2矩陣：

接著矩陣乘法給我們下列等式：

F(x)=x·M·x

這里的有上標(biāo)的x指示轉(zhuǎn)置矩陣。主要我們已經(jīng)用了特征不是2，因?yàn)槲覀兂?來(lái)定義M。所以我們看到了在2維二次形式F和對(duì)應(yīng)于對(duì)稱(chēng)雙線性形式的2×2對(duì)稱(chēng)矩陣M之間的對(duì)應(yīng)。

這個(gè)觀察迅速推廣到n個(gè)變量和n×n矩陣的形式中。例如，在實(shí)數(shù)值二次形式中，實(shí)數(shù)的特征是0，所以實(shí)數(shù)二次形式和實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)雙線性形式是來(lái)自不同觀點(diǎn)的同樣的東西。

如果V是n維的，我們寫(xiě)雙線性形式B為相對(duì)于V的某個(gè)基{ei}的對(duì)稱(chēng)矩陣B。B的分量給出自 。如果2是可逆的，二次形式Q給出自

這里u是在這個(gè)基下的u的分量。

實(shí)二次形式假定Q是定義在實(shí)數(shù)向量空間上的二次形式。

它被稱(chēng)為是正定的（或者負(fù)定的），如果Q(v)>0 (或者Q(v)