[科普中國(guó)]-典型群

相關(guān)聯(lián)系

和雙線性形式的關(guān)系

典型李群共同的特點(diǎn)是它們都與某個(gè)特定的雙線性或半雙線性形式的等距同構(gòu)群密切聯(lián)系。這四類用鄧肯圖標(biāo)記（下標(biāo)n≥ 1），可以描述為：2

An= SU(n)，特殊酉群，行列式為 1 的n×n酉矩陣。

Bn= SO(2n+1)，特殊正交群， (2n+1)×(2n+1) 行列式為 1 的實(shí)正交矩陣。

Cn= Sp(n)，辛群，保持H上的通常內(nèi)積的n×n四元數(shù)矩陣。

Dn= SO(2n)，特殊正交群， 2n×2n行列式為 1 的實(shí)正交矩陣。

為了某些特定的目的，去掉行列式為 1 的條件考慮酉群和（不連通）正交群也是自然的。表中所列即為所謂連通緊實(shí)形式群；在復(fù)數(shù)域中有相應(yīng)的類比，以及多種非緊形式，例如，和緊正交群一起可考慮不定正交群。這些群相應(yīng)的李代數(shù)稱為“典型李代數(shù)”。

例子在代數(shù)中，考慮更廣泛的典型群，給出特別值得關(guān)注的矩陣群。當(dāng)矩陣群的系數(shù)環(huán)為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域時(shí)，這些群就是上述的典型李群。

當(dāng)系數(shù)環(huán)是有限域時(shí)，典型群是李型群。這些群在有限單群的分類中扮演著重要的角色?？紤]他們的抽象群理論，許多線性群有一個(gè)“特殊”子群，常常由行列式為 1 的元素組成，大部分有一個(gè)伴隨的“射影”群，它們是除掉群中心的商群。

“一般”一詞在群的名稱前面通常表示這個(gè)群可以用常數(shù)乘以某個(gè)形式，而不是保持不變。下標(biāo)n經(jīng)常表示群作用的模之維數(shù)。特別注意：這種記法和 Dynkin 圖中的n（為秩）可能沖突。

線性群一般線性群GLn(R) 是某個(gè)模的自同構(gòu)群。有子群特殊線性群SLn(R) ，以及商群射影一般線性群PGLn(R) =GLn(R)/Z(GLn(R)) 和射影特殊線性群PSLn(R) =SLn(R)/Z(SLn(R))。當(dāng)n≥2 或n=2 且域R的階數(shù)不為 2 或 3 時(shí)，域R上的射影特殊線性群PSLn(R) 為單群。

酉群酉群Un(R) 是保持某個(gè)模的半雙線性形式的群。有子群特殊酉群SUn(R)，以及他們的商群射影酉群PUn(R) =Un(R)/Z(Un(R)) 與射影特殊酉群PSUn(R) =SUn(R)/Z(SUn(R))。

辛群辛群Sp2n(R) 保持一個(gè)模的斜對(duì)稱形式。它有一個(gè)商群射影辛群PSp2n(R)。將模的斜對(duì)稱形式乘以一個(gè)可逆純量的所有自同構(gòu)組成一般辛群GSp2n(R) 。除了n=1 且域的階數(shù)為 2 或 3 這兩個(gè)例外，域R上射影辛群PSp2n(R) 是單群。

正交群正交群On(R) 保持一個(gè)模的非退化二次型。有子群特殊正交群SOn(R)，以及商群射影正交群POn(R) 與射影特殊正交群。在特征為 2 時(shí)，行列式總是 1，故特殊正交群常定義為Dickson 不變量為 1 的元素。

有一個(gè)沒(méi)有名字的群，經(jīng)常記為 Ωn(R)，由所有Spinor 模為 1 的正交群中元素組成。相應(yīng)的子群和商群為SΩn(R)，PΩn(R)，PSΩn(R)（對(duì)實(shí)數(shù)域上正定二次型，群 Ω 就是正交群，但一般要比正交群?。?。Ωn(R) 也有一個(gè)二重復(fù)蓋群，稱為Spin 群Spinn(R)。一般正交群由在二次型上的作用為乘以一個(gè)可逆純量的自同構(gòu)組成。