[科普中國]-正十二面體

性質(zhì)

面的圖形：正五邊形1

面的數(shù)目：12
邊的數(shù)目：30
頂點數(shù)目：20
二面角角度：如果正十二面體棱長為a：
表面積：

體積：

外接球半徑：

內(nèi)切球半徑：

中交球半徑：

我們亦可以將上述三式寫作：

外接球半徑：

內(nèi)切球半徑：

中交球半徑：

（在這里φ是黃金分割數(shù)，φ=）

注意到棱長為a的正十二面體的外接球同樣外接于棱長為φa的立方體，并且其內(nèi)切球半徑（也即面心距）等于棱長為φa的正五邊形的邊心距。

對偶多面體：正二十面體

坐標系如果我們以正十二面體的形心為原點建立三維直角坐標系，那么其20個頂點可被描述為：2

(0,±φ,±1/φ)
(±1/φ,0,±φ)
(±φ,±1/φ,0)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2，是黃金分割數(shù)，也被寫作τ，約等于1.618。
該正十二面體棱長為/φ=√5–1。其內(nèi)接球半徑正好為√3。

|| ||

幾何關(guān)聯(lián)正十二面體是一個無窮家族——截頂偏方面體的第3個成員（截頂五偏方面體）。這類多面體可以被看作是將偏方面體在旋轉(zhuǎn)對稱軸上的兩個相對的頂點截去而成。

正十二面體的星形化體構(gòu)成了4個星形正多面體中的3個。

我們可以在正十二面體的20個頂點中選取5組這樣的頂點，使任意兩個頂點的連線都是正十二面體正五邊形面的一條對角線，這樣能構(gòu)成正十二面體的內(nèi)接立方體，5個內(nèi)接立方體一起構(gòu)成了——復(fù)合多面體——五復(fù)合立方體；我們還可以進一步對內(nèi)接立方體做交錯操作，得到正十二面體的內(nèi)接正四面體，如果我們只在內(nèi)接立方體中取一個正四面體，則5個正四面體構(gòu)成了有手征性的復(fù)合多面體——五復(fù)合四面體；如果取兩個，則10個正四面體構(gòu)成了復(fù)合多面體——十復(fù)合四面體，這三個復(fù)合多面體都是正十二面體的小面化體。

正十二面體的完全對稱群是正二十面體對稱群Ih，考克斯特群[5,3]，群階120，還有一個抽象群結(jié)構(gòu)A5×Z2。

當正十二面體和正二十面體內(nèi)接于同一球時，盡管正二十面體有更多的面，但正十二面體占據(jù)球的體積（66.49%）要多于正二十面體占據(jù)的球的體積（60.54%），這一點與二維不同。

棱長相同為1的正十二面體的體積（7.663...）是正二十面體體積（2.181...）的三倍半多。

相關(guān)數(shù)學問題哈密頓路徑的理論就是源自一個和正十二面體有關(guān)的問題：試求一條路徑，沿正十二面體的棱經(jīng)過它所有的頂點。

真實世界因為一年有12個月，正十二面體正好用來制作月歷。

Pariacoto virus的形狀結(jié)構(gòu)是正十二面體。

在英國到匈牙利，至到意大利東部等地，找到過百個形狀接近十二面體、以銅或石頭制造的空心物件。它們被稱為Dodecaeder，用途不明。

五魔方（Megaminx）就是正十二面體制作出來的魔方。

化學：

硫化鐵結(jié)晶體有時會出現(xiàn)接近正十二面體的形狀。

最小的富勒烯C20結(jié)構(gòu)如正十二面體。

正十二面體烷C20H20是個人工合成的碳氫化合物。