[科普中國]-仿射變換

定義一般定義

一個對向量 平移 ，與旋轉(zhuǎn)放大縮小 A的仿射映射為2

上式在齊次坐標(biāo)上，等價于下面的式子

在分形的研究里，收縮平移仿射映射可以制造制具有自相似性的分形。

一個在兩個仿射空間之間的仿射變換，是在向量上呈現(xiàn)線性之坐標(biāo)點的變換（即為空間中點與點之間的向量）。以符號表示的話， 使得 ，決定任一對點的線性變換：

或者

其他定義. 我們可以將此定義繼續(xù)延伸： 假設(shè)選定一原點 ， 且B表示其圖像 ，如此即代表對任何向量

假設(shè)選定一原點 ，此即可以拆解成一仿射變換 使得 ，特定而言

總結(jié)即，很直觀的， f包含了一個變換與線性坐標(biāo)。

給定同一場中的兩個仿射空間 與 ，一函數(shù)為一仿射映射當(dāng)且僅當(dāng)對任一加權(quán)點的集合

我們得到

此定義等價于 f 保留了質(zhì)心。

表示如上所示，仿射變換為兩函數(shù)的復(fù)合：平移及線性映射。普通向量代數(shù)用矩陣乘法呈現(xiàn)線性映射，用向量加法表示平移。正式言之，于有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣“A”，平移被表示為向量，一仿射映射f可被表示為

增廣矩陣

使用一增廣矩陣與一增廣向量, 用一矩陣乘法同時表示平移與線性映射是有可能的。此技術(shù)需要所有向量在其末端擴(kuò)長 “1”且所有矩陣都于底部添加一排零，右邊擴(kuò)長一列轉(zhuǎn)換向量，及右下角添加一個 “1”。

等價于

以上所言之?dāng)U長矩陣被稱為 “仿射變換矩陣”，又或稱為 “投射變換矩陣” （其可應(yīng)用于投影轉(zhuǎn)換).

此表示法以K之半直積與 GL(n,k)展示了 所有可逆仿射變換的集合。 此為一個于眾函數(shù)集結(jié)下進(jìn)行的一個群，被稱為仿射群。

普通矩陣向量乘法總將原點映射至原點，因此無法呈現(xiàn)平移（原點必須映射至其他點）。借由于所有向量上擴(kuò)增一坐標(biāo) “1”，我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進(jìn)行變換。在該空間中，原本之空間占有了擴(kuò)長坐標(biāo)一的1的子集合。 因此原空間的原點可在(0,0, ... 0, 1). 原空間的平移可借由更高維度空間的線性轉(zhuǎn)換來達(dá)成（即為錯切變換）。在高維度中的坐標(biāo)即為齊次坐標(biāo)的一例。 假如原空間為歐幾里德, 則更高維空間為實射影空間.

使用齊次坐標(biāo)的優(yōu)點為，借由相對應(yīng)矩陣之乘積，可將任意數(shù)目的仿射變換結(jié)合為一。此性質(zhì)被大量運用于計算機(jī)圖形，計算機(jī)視覺與機(jī)器人學(xué)。

性質(zhì)一仿射變換保留了：

（1）點之間的共線性，例如通過同一線之點 （即稱為共線點)在變換后仍呈共線。

（2）向量沿著一線的比例，例如對相異共線三點與 的比例同于及。

（3）帶不同質(zhì)量的點之質(zhì)心。

一仿射變換為可逆的當(dāng)且僅當(dāng)A為可逆的。在矩陣表示中，其逆元為

可逆仿射變換組成仿射群，其中包含具n階的一般線性群為子群，且自身亦為一n+1階的一般線性群之子群。 當(dāng)A為常數(shù)乘以正交矩陣時，此子集合構(gòu)成一子群，稱之為相似變換。舉例而言，假如仿射變換于一平面上且假如A之行列式為1或-1，那么該變換即為等面積變換。此類變換組成一稱為等仿射群的子集。一同時為等面積變換與相似變換之變換，即為一平面上保持歐幾里德距離不變之保距映射。 這些群都有一保留了原定向的子群，也就是其對應(yīng)之A的行列式大于零。在最后一例中，即為三維中剛體運動之群（旋轉(zhuǎn)加平移）。 假如有一不動點，我們可以將其當(dāng)成原點，則仿射變換被縮還到一線性變換。這使得變換更易于分類與理解。舉例而言，將一變換敘述為特定軸的旋轉(zhuǎn)，相較于將其形容為平移與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合，更能提供變換行為清楚的解釋。只是，這取決于應(yīng)用與內(nèi)容。

實例實數(shù)函數(shù)f:R→R,f(x) =mx+c，其中m與c為常數(shù)，此即為一般之仿射變換。

有限域以下等式表示了有限域(2)中的仿射變換:

此處[M]為矩陣 且 {v} 為向量:

|| ||

舉例來講，將以大端序二進(jìn)制表示的元素{a} =y+y+y+y= {11001010}轉(zhuǎn)換成大端序十六進(jìn)制，計算如下：

于是， {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED}。

平面幾何在 ?，左方所示之變換即為以下映射：

將原紅色三角形之三個頂點作變換后給出了新藍(lán)色三角形的三個頂點。事實上，所有三角形皆可由仿射變換來達(dá)成，所有平行四邊形也可以，但一般四邊形不行。