[科普中國(guó)]-仿射幾何學(xué)

簡(jiǎn)介

平面仿射幾何主要研究平面圖形在仿射變換下不改變的性質(zhì)。

仿射群仿射群是由那些使矩陣為可逆矩陣的映射組成的平面的變換群。這樣的變換稱為仿射變換。

仿射變換仿射空間中最重要的變換是仿射變換，它的特征是將共線的三點(diǎn)變?yōu)楣簿€的三點(diǎn)。給定仿射坐標(biāo)系后，仿射變換有明確的代數(shù)表示。仿射變換全體構(gòu)成的變換群稱為仿射變換群。仿射變換下重要的不變性質(zhì)和不變量有：共線性、平行性、平行線段的長(zhǎng)度比等。

如果在仿射平面（或空間）中引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并且將它們與原有點(diǎn)不加區(qū)別，則就成為射影平面（或射影空間）。在射影平面（或射影空間）中指定一條（或一個(gè)）直線l（或超平面π），那么射影變換群中保持l（或π）不動(dòng)的變換就構(gòu)成一個(gè)與仿射變換群同構(gòu)的變換子群。從這個(gè)意義上講，仿射變換群就是射影變換群的子群，而仿射幾何也就成為射影幾何的子幾何。

平面上的仿射變換可以看成是連續(xù)施行有限回兩個(gè)平面之間的平行投影所得到的平面上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)，也可以說(shuō)仿射變換是一個(gè)平行投影“鏈”。比如，由連續(xù)施行平面π到π1，π1到π2，π2到π3，再?gòu)摩?回到π的共四次平行投影得到的平面π上點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)，例如A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，B′，C′，這個(gè)對(duì)應(yīng)就是平面π上的一個(gè)仿射變換。

平面上的仿射變換由三對(duì)不共線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)完全確定。線段的長(zhǎng)度和二直線的夾角在仿射變換下一般都要改變。但共線三點(diǎn)A，B，C組成的兩個(gè)有向線段AC和BC的量的比AC/BC（稱為A 、B 、C 的簡(jiǎn)比）在仿射變換下是不改變的，它是仿射變換最基本的不變量。二直線平行這個(gè)性質(zhì)在仿射變換下也不改變。平面上兩個(gè)封閉圖形的面積之比，在仿射變換下也是不變的。

幾何特征從幾何上來(lái)說(shuō)，可以在空間中取有限多個(gè)平面,并在每個(gè)面上進(jìn)行平行投射，然后將P和Q上被映射成的點(diǎn)等化便得到了一個(gè)仿射變換。1

仿射等價(jià)若一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)仿射變換變成另一個(gè)圖形，就說(shuō)這兩個(gè)圖形是仿射等價(jià)的。

例如：所有的三角形都與正三角形仿射等價(jià)，所有的平行四邊形都與正方形仿射等價(jià)，所有的橢圓都與圓仿射等價(jià)，所有的雙曲線都與等軸雙曲線仿射等價(jià)。

在仿射幾何中，互相仿射等價(jià)的圖形是不加區(qū)別的。1