[科普中國]-張量分析

起源與發(fā)展

張量分析起源于德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼的超復(fù)數(shù)理論和英國數(shù)學(xué)家哈密頓于1843年建立的四元數(shù)理論。格拉斯曼于1844年在《線性擴(kuò)張論》中獨立給出n個分量的超復(fù)數(shù)，稱之為擴(kuò)張的量，論述了超復(fù)數(shù)作為向量的運(yùn)算法則及幾何意義，1855年又進(jìn)行了總結(jié)。19世紀(jì)50年代后，黎曼、貝爾特拉米、克里斯托費(fèi)爾和李普希茨等人建立并發(fā)展了微分不變量理論，為張量分析提供了基礎(chǔ)。1884—1894年意大利數(shù)學(xué)家里奇創(chuàng)立絕對微分學(xué)理論，并應(yīng)用于微分幾何和物理學(xué)的某些問題中。里奇還引入“張量”概念，論述了張量分析中的許多基本理論，有一類二階共變張量場叫做里奇張量。里奇與他的學(xué)生列維-齊維塔合著的《絕對微分法及其應(yīng)用》(1901)成為張量分析的經(jīng)典著作，其中指出了如何把某些偏微分方程及物理規(guī)律表示成張量的形式，以便使它們與坐標(biāo)系無關(guān)。1916年愛因斯坦成功地達(dá)到這一目標(biāo)，用數(shù)學(xué)不變式表達(dá)了廣義相對論。另一方面愛因斯坦的工作也促進(jìn)了張量分析的發(fā)展，“張量分析”這一名稱就是他于1916年開始使用的。張量分析在20世紀(jì)上半葉由荷蘭數(shù)學(xué)家斯豪滕等人進(jìn)一步發(fā)展。1

克里斯托費(fèi)爾符號第一種克里斯托費(fèi)爾符號 .

第二種克里斯托費(fèi)爾符號 又

克里斯托費(fèi)爾符號表示基本張量的導(dǎo)數(shù)

克里斯托費(fèi)爾符號的變換律

矢量的協(xié)變微分基矢量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)

逆變矢量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)

協(xié)變矢量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)

矢量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)是二階張量

張量的協(xié)變微分

協(xié)變微分法規(guī)則協(xié)變微分法服從規(guī)律——兩張量之和（或差）的協(xié)變導(dǎo)數(shù)是它們的協(xié)變導(dǎo)數(shù)之和（或差）；兩張量的外積（或內(nèi)積）的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于兩項之和，每項是一個張量外乘（或內(nèi)乘）另一張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。2

不變微分算子梯度

散度

旋度

拉普拉斯算子

內(nèi)稟微分絕對導(dǎo)數(shù)

實質(zhì)導(dǎo)數(shù)

相對張量權(quán)為w的相對純量

權(quán)為w的相對矢量

權(quán)為w的相對二階混合張量

權(quán)為1的相對張量(張量密度)