[科普中國]-素域

基本概念

擴域(或擴張)：如果域F是域E的一個子域，則稱域E為子域F的一個擴域(或擴張)，并用符號 ，表示E是F的擴域(或擴張)。

例1 復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的擴域，而復(fù)數(shù)域和實數(shù)域又都是有理數(shù)域的擴域。

我們知道，任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，即有理數(shù)域是最小的數(shù)域，它不再含有任何真子域。

素域(或最小域)：如果一個域F不含真子域，則稱F是素域(或最小域)。

例2 有理數(shù)域是素域，剩余類環(huán) 是素域。2

相關(guān)定理定理1任何域E都含素域。2

證明 設(shè)e是域E的單位元，且令 ，顯然Z’是域E的子環(huán)，作映射 ，則 是整數(shù)環(huán)Z到Z’的一個同態(tài)滿射。

(1)當(dāng)char E=∞時，則 是同構(gòu)映射，從而 。

但同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)，即Z的商域 Z’的商域，又Z的商域是有理數(shù)域Q，E包含Z'，因而E包含Z'的商域，再由有理數(shù)域Q是素域，故Z’的商域也是素域，即域E包含素域。

(2)當(dāng)char E=p時，則易知， ，故 ．由于 是素域，故Z’是素域，從而域E包含素域。

綜上所證，定理得證。

這個定理告訴我們，一個域E，當(dāng)特征是 時，包含一個與有理數(shù)域同構(gòu)的素域，當(dāng)特征是素數(shù)p時，E包含一個與 同構(gòu)的素域，即有下列推論：

推論1任意域包含且只包含一個素域，任意域都是一個素域的擴張。

推論2設(shè)E是一個域，則當(dāng)char E=∞時．E包含一個與Q同構(gòu)的素域；當(dāng)char E=p時，E包含一個與 同構(gòu)的素域。

這個定理同時也說明，任意域都是一個素域的擴張，因此，可以從素域出發(fā)來研究擴域，而且如果這樣的擴域研究清楚了，也就是弄清楚了所有的域。但實踐證明，從素域出發(fā)來研究擴域并沒有什么特別的優(yōu)越性，因此，我們不是由素域出發(fā)而得到擴域，而是對任意域F出發(fā)通過添加來研究其擴域。2

性質(zhì)1若域△不含真子域，則稱△是一個素域。

例如：有理數(shù)域Q和以p(素數(shù))為模的剩余類域 都是素域。

性質(zhì)2設(shè)△是一個素域，若△特征是 ，則△與有理數(shù)域同構(gòu)；若△的特征是素數(shù)p，則△與以p為模的剩余類域 同構(gòu)。3

基本題型1. 證明Q和(P為素數(shù))都是素域。

證：(1)設(shè)F是Q的子域，則1∈F，若n是任一整數(shù)，于是有，從而對任有理數(shù)芋(p，q為整數(shù))·有，故，即：，從而Q=F。

(2)設(shè)F是的子域，則[1]∈F，任意元素，有

于是，從而。3

2. 設(shè)F是特征為素數(shù)p的一個域，證明：

作成E的一個子域，且為E中的素域。

證：令，定義映射

易證，是同構(gòu)映射，從而△是E的子域，再由是素域可知△也是素域。3