[科普中國(guó)]-平凡解

概念

數(shù)學(xué)中，術(shù)語(yǔ)“平凡”（“平凡的”）經(jīng)常用于結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單的對(duì)象（比如群或拓?fù)淇臻g），有時(shí)亦會(huì)用明顯或乏趣這兩個(gè)詞代替，但對(duì)非數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，它們有時(shí)可能比其他更復(fù)雜的對(duì)象更難想象或理解。

例如：

明顯因數(shù)：對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n 來(lái)說(shuō)，1、-1、n 和 -n 都是它的明顯因數(shù)。

空集：不包含任何元素的集合；

平凡群：只含單位元的群；

平凡環(huán)：定義于單元素集合的環(huán)。

定義一般，Ax=0中的零解,即x=0，稱(chēng)為平凡解。

矩陣代數(shù)的中的定義，AX=0, 行列式|A|≠0, 則X只有平凡解X=0，無(wú)非平凡解.

因?yàn)槿魏尉€(xiàn)性空間的子空間都過(guò)零點(diǎn)，所以明顯的等于0的時(shí)候解是成立的，但這顯然沒(méi)什么意義，說(shuō)這個(gè)0解是平凡的。

通俗來(lái)講，如果方程組AX=0, 只有當(dāng)X=0的時(shí)候才成立，就說(shuō)方程組AX=0只有平凡解（trivial solution），此時(shí)肯定有行列式|A| 不為零。相反如果方程組AX=0存在非零解，也就是說(shuō)存在不為零的X也可以使方程組AX=0成立，則說(shuō)方程組AX=0存在非平凡解（nontrivial solution），此時(shí)肯定有系數(shù)矩陣行列式的值|A|=01。

例如，考慮微分方程：。

這里y=f(x) 為函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為y′。

y= 0，0 函數(shù)是平凡解；

y(x) = e，指數(shù)函數(shù)是一個(gè)非平凡解。

類(lèi)似地，數(shù)學(xué)家經(jīng)常將費(fèi)馬大定理描述為方程對(duì)n> 2 沒(méi)有非平凡解。 顯然，這個(gè)方程確實(shí)有解。比如對(duì)任何n都是解，a= 1,b= 0,c= 1 也一樣。但是這種解是顯然而無(wú)趣的，從而稱(chēng)為平凡解。

擴(kuò)展數(shù)學(xué)推理

平凡也經(jīng)常指證明中容易的情形，為了完整性而不能省略。比如，數(shù)學(xué)歸納法證明分為兩部分：“奠基步驟”是對(duì)一個(gè)特殊起始值比如n= 0 或n= 1 證明定理；然后歸納步驟證明如果定理對(duì)特定值n成立，那么對(duì)n+1 也成立。奠基情形經(jīng)常是顯然的。（但是，也有歸納步驟是平凡的而奠基情形卻困難的例子。關(guān)于多項(xiàng)式的定理經(jīng)常是這種類(lèi)型，證明對(duì)變?cè)膫€(gè)數(shù)用歸納法。證明如果系數(shù)環(huán)A是唯一分解整環(huán)那么A[X1,...,Xn] 是唯一分解整環(huán)，歸納步驟只要簡(jiǎn)單的寫(xiě)成A[X1,...,Xn] =A[X1,...,Xn-1][Xn]，而一個(gè)變?cè)牡旎樾问抢щy的。）類(lèi)似地，我們可能想證明某種性質(zhì)對(duì)一個(gè)集合中所有元素都成立。證明的主要考慮非空集合，詳細(xì)檢驗(yàn)其元素是否具有該性質(zhì)；但如果集合是空集，則性質(zhì)對(duì)其所有元素都成立，因?yàn)闆](méi)有元素需要檢驗(yàn)。

數(shù)學(xué)界一個(gè)常見(jiàn)的笑話(huà)是說(shuō)“平凡”和“被證明了的”是同義詞——這就是說(shuō)，任何定理如果已知成立就可以認(rèn)為是“平凡”的。另一個(gè)笑話(huà)是關(guān)于兩個(gè)數(shù)學(xué)家討論一個(gè)定理。第一個(gè)數(shù)學(xué)家說(shuō)某個(gè)定理是“平凡的”。另一個(gè)要求一個(gè)解釋?zhuān)缓笏M(jìn)行了 20 分鐘的解說(shuō)。解說(shuō)完了之后，第二個(gè)數(shù)學(xué)家同意這個(gè)定理是平凡的。這個(gè)笑話(huà)指出對(duì)平凡性判斷的主觀性。舉個(gè)例子，對(duì)微積分熟練的人，會(huì)認(rèn)為這個(gè)定理

是平凡的。但對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，可能一點(diǎn)也不顯然。

值得注意的是，平凡性也取決于語(yǔ)境。泛函分析中的證明可能會(huì)給出一個(gè)數(shù)，平凡地假設(shè)存在這樣的大數(shù)。在初等數(shù)論中證明自然數(shù)的基本結(jié)論時(shí)，證明也許會(huì)與“每個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)后繼”息息相關(guān)，但此點(diǎn)需加以證明，或者將其作為一個(gè)公理。

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