[科普中國]-丟番圖逼近

簡介

所謂丟番圖逼近即研究種種有理逼近的一個數(shù)論分支，因為它與丟番圖方程的研究密切相關(guān)，所以人們稱之為丟番圖逼近，或?qū)⑦@類問題稱為丟番圖分析。它還與幾何學有密切關(guān)系，為此，將設(shè)置數(shù)的幾何條目。中國古代對丟番圖逼近上很有貢獻的，例如，何承天與祖沖之就曾分別建議用22/7（約率）與355/113（密率）來近似計算圓周率π。這兩個數(shù)都是π都所謂漸近分數(shù)（見連分數(shù)）。355/113的下一個漸近分數(shù)為103993/33102，太復(fù)雜了。因此，密率數(shù)π是極好的有理逼近。1

說明數(shù)論的一個分支，以研究數(shù)的有理逼近問題為主。這里所謂的數(shù)是指實數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)數(shù)或超越數(shù)。數(shù)的有理逼近問題，可表為求某種不等式的整數(shù)解問題。由于在整數(shù)范圍求解的方程稱為不定方程或丟番圖方程，因而把求不等式的整數(shù)解問題稱之為丟番圖逼近。

1842年，P.G.L.狄利克雷首先證明了實數(shù)有理逼近的一個結(jié)果：如果α是任意實數(shù)，Q是大于1的實數(shù)，那么存在整數(shù)對p、q，滿足兩個不等式： 和 。由此可得，如果α是任意無理數(shù)，那么存在無窮多對互素的整數(shù)對p、q，滿足不等式 。當α是有理數(shù)時，上式不成立。

1891年，A.胡爾維茨將上式改進為 ，并指出，對于某些無理數(shù)，常數(shù)是最佳值，不可再減小。但是對于很多無理數(shù)，常數(shù)不是最佳值，還可再減小。

1926年，A.Я.辛欽證明了：在勒貝格測度意義下對幾乎所有的實數(shù)α，不等式的整數(shù)解p、q有無窮多對還是只有有窮多對，由級數(shù)是發(fā)散的還是收斂的而定，這里 ψ(q)(q>0）是正的非增函數(shù)。此即所謂丟番圖逼近測度定理。例如，對幾乎所有的實數(shù) α和任意的δ>0，不等式只有有窮多對整數(shù)解，而不等式有無窮多對整數(shù)解。

丟番圖逼近與連分數(shù)有密切聯(lián)系。一個數(shù)的連分數(shù)展開，往往就是具體構(gòu)造有理逼近解的過程。例如，對于任意無理數(shù)α，有無窮多個漸近分數(shù)，滿足不等式。

1844年，J.劉維爾開創(chuàng)了實代數(shù)數(shù)的有理逼近的研究，他證明了：如果α是次數(shù)為d的實代數(shù)數(shù)，那么存在一個常數(shù)C（α）>0，對于每個不等于α的有理數(shù)p/q，有。亦即如果μ>d，那么不等式只有有窮多個解。根據(jù)這一結(jié)果，劉維爾構(gòu)造出了歷史上的第一個超越數(shù)。以后一些數(shù)學家不斷改進指數(shù)μ 的值，直到得出μ 與 d無關(guān)的結(jié)果。

1909年，A.圖埃得到。

1921年，C.L.西格爾得到。

1947年至1948年間，F(xiàn).戴森和A.O.蓋爾豐德各自獨立證明了。

1955年，K.F.羅特得到了μ與d無關(guān)的一個結(jié)論：如果α是實代數(shù)數(shù)，其次數(shù) d≥2，那么對于任意的δ>0，不等式只有有窮多個解。這一結(jié)論又稱為圖埃-西格爾-羅特定理。

用代數(shù)數(shù)逼近代數(shù)數(shù)，也是丟番圖逼近的一類重要內(nèi)容。W.M.施密特所著《丟番圖逼近》（1980）一書中，有詳細的論述。

自20世紀以來，丟番圖逼近除自身的發(fā)展外，在超越數(shù)論、丟番圖方程等方面都有重要的應(yīng)用。

相關(guān)介紹劉維爾定理與 Roth 定理劉維爾定理可用以直接構(gòu)造超越數(shù)。在這之前，數(shù)學家們已藉連分數(shù)導(dǎo)出關(guān)于平方根與其它二次無理數(shù)的許多逼近性質(zhì)。這個結(jié)果后來由 Axel Thue 等人改進，并導(dǎo)致 Roth 定理：將劉維爾定理中的指數(shù) n 由代數(shù)數(shù)的次數(shù)縮減到任意的 2+ε（其中 ε>0）；之后 Schmidt 將此推廣到同步逼近。這些證明頗困難，而且不能得到明確的上界，這在應(yīng)用上是一大缺憾。

均勻分布取一實數(shù)序列并考慮其真分數(shù)部份；或者抽象地說是考慮 R/Z，這在拓撲學上是個一維圓環(huán) S1。對圓環(huán)上的任一段區(qū)間，我們研究有限集 {an:N