[科普中國(guó)]-力迫法

簡(jiǎn)介

在集合論中，力迫法是科恩（P.Cohen）發(fā)明的一種強(qiáng)有力的技術(shù)，用來(lái)證明集合論中命題的相容性和獨(dú)立性?？贫饔?962年首次利用力迫法證明了選擇公理相對(duì)于ZF的獨(dú)立性和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對(duì)于ZFC的獨(dú)立性。因?yàn)檫@一結(jié)果，科恩于1963年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。后來(lái)經(jīng)過(guò)索洛韋和斯科特（D. Scott）等的大量工作，力迫法得以簡(jiǎn)化并成為一種可以得到廣泛應(yīng)用的方法。

力迫法在數(shù)理邏輯以及其他數(shù)學(xué)分支中也以不同的方式存在。如在可計(jì)算性理論（也稱遞歸論）中力迫法早在科恩的工作之前就存在。在拓?fù)鋵W(xué)與描述集合論中，力迫法通常以更為傳統(tǒng)的形式出現(xiàn)，如貝爾綱論證（Bair categoty argument)或組合型式論證。

一般形式力迫的目的通常是將集合論全域V作一次擴(kuò)張到一個(gè)更大的域V*。因?yàn)閂*包含更多的集合，它的某些性質(zhì)會(huì)發(fā)生改變。例如，如果V*包含了極多新的實(shí)數(shù)，則連續(xù)統(tǒng)假設(shè)就會(huì)在V*中不成立。力迫擴(kuò)張（forcing extension）數(shù)通過(guò)考慮V中一個(gè)偏序（P，≤），并在V上添加P的一個(gè)泛型超濾子G來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

基本概要在力迫法中，

（1）有一個(gè)集合全域V中依據(jù)某種選定的帶有最大元的偏序?=（P，≤）。這一偏序通常稱為一個(gè)力迫概念（forcing notion），力迫概念?中的元素被稱為力迫條件；?中有最大元通常被記為 1；如果 p 和 q 為兩個(gè)力迫條件且p ≤ q，則通常稱為 p 強(qiáng)于（stronger than）q；

（2）以集合全域V為基礎(chǔ)，利用這個(gè)偏序集合引進(jìn)一種力迫語(yǔ)言（forcing language）；

（3）在力迫條件和力迫語(yǔ)言的表達(dá)式之間定義一種可以在集合全域V中判定成立與否的力迫關(guān)系（forcing relation）記成╟，讀作力迫）p╟φ，其中p是一個(gè)力迫條件，φ是力迫語(yǔ)言中的一個(gè)表達(dá)式；

（4）定義力迫概念P在集合全域V上的泛型超濾子的概念；

（5）定義集合全域 V 由泛型超濾子 G 誘導(dǎo)出來(lái)的泛型擴(kuò)張 V[G] 以及力迫語(yǔ)言表達(dá)式在 V[G] 中的語(yǔ)義解釋。

上述五條構(gòu)成力迫方法的基本概要。這里，?上的一個(gè)泛型超濾子（generic ultrafiltet）[為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，泛型超濾子通常也簡(jiǎn)稱為泛型濾子（generic filter）]或泛型集，G是P上具有以下性質(zhì)的非空真子集：

（1）若 p ≤ q 且 p ∈ G，則q∈G；

（2）若p，q ∈ G ，則存在 r ∈ G 使得 r ≤ p且 r ≤ q ；

（3）（泛型性質(zhì)）對(duì)任意?的稠密子集D（即 p ∈ P 蘊(yùn)含存在 q ∈ D 使得 q ≤ p），都有G ∩ D ≠ ?。

不難看出，滿足以上泛型性質(zhì)的濾子G 不可能存在于 V 中。因此，當(dāng) V 和 G 結(jié)合起來(lái)而形成一個(gè)新的集合全域V*=V[G]時(shí)，V[G] 是 V 的一個(gè)真正的擴(kuò)張。稱為 V 的一個(gè)泛型擴(kuò)張（generic extension）。泛型擴(kuò)張 V[G]與原有的集合全域 V 之間有以下十分關(guān)鍵的關(guān)聯(lián)：設(shè) p 為一個(gè)力迫條件，φ 為力迫語(yǔ)言中的一個(gè)句子，那么必有V[G]╞φ 當(dāng)且僅當(dāng)存在 p ∈ G使得V╞p╟φ。

這條性質(zhì)通常被稱為力迫定理（forcing theorem）。力迫定理使得泛型擴(kuò)張V[G]的性質(zhì)完全對(duì)應(yīng)于V中關(guān)于力迫關(guān)系的原有性質(zhì)，從而將V[G]中性質(zhì)的判讀問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在V中關(guān)于所對(duì)應(yīng)的力迫關(guān)系的判斷問(wèn)題。這一點(diǎn)是力迫方法的核心內(nèi)涵。

應(yīng)用力迫法可以用于任何滿足ZF(甚至比ZF弱的公理系統(tǒng)) 的內(nèi)模型或集合模型。在這些應(yīng)用中力迫概念和力迫關(guān)系所在的初始模型稱為基礎(chǔ)模型( ground model )，或是底層模型。如果基礎(chǔ)模型M是可數(shù)的，則可以在V中找到M 之上的一個(gè)泛型集，從而M 的泛型擴(kuò)張M[G] 也是V中的集合。從哲學(xué)角度講，有時(shí)，或?qū)τ行┤耍伎伎蓴?shù)基礎(chǔ)模型的泛型擴(kuò)張會(huì)比思考集合論全域的泛型擴(kuò)張容易一些。

另一個(gè)使力迫擴(kuò)張更容易接受的途徑是通過(guò)布爾值模型(Boolean valued model)。在這個(gè)框架下，每一個(gè)力迫概念對(duì)應(yīng)一個(gè)完備布爾代數(shù)(complete Boolean algebra)，而每一個(gè)力迫條件則被看成是一個(gè)布爾值 (Boolean value)。力迫關(guān)系的建立等同于力迫語(yǔ)言句子布爾值的計(jì)算。這樣，力迫擴(kuò)張被看成是發(fā)生在集合論全域內(nèi)的事件。在這個(gè)框架下，力迫擴(kuò)張不完全等同于泛型擴(kuò)張。這時(shí)，泛型集(泛型超濾子) 等同于一種將布爾值投射成真假(對(duì)應(yīng)于1和0) 值的外來(lái)方法。如此，在泛型擴(kuò)張中所有句子的真值又回歸到0,1。

在力迫法的進(jìn)一步發(fā)展中，比較重要的突破是迭代力迫(iterated forcing)的發(fā)明。在科恩力迫法出現(xiàn)后不久，即出現(xiàn)了由索洛韋和特南鮑姆(S.Tennenbaum) 發(fā)明的有窮支撐迭代力迫(fnite support iterated forcing)。后來(lái)萊弗(R.Laver)又發(fā)展了可數(shù)支撐迭代力迫(countable support iterated foreing)。

力迫法是一種強(qiáng)有力的證明方法。它的重要應(yīng)用不勝枚舉。幾乎所有重要的獨(dú)立性和相容性證明都是，或可以，用力迫法證明的。然而，力迫法并不僅僅是一種證明方法，而本質(zhì)上更是一種構(gòu)造方法。在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要構(gòu)造的對(duì)象可以被看成某個(gè)力迫概念的泛型集。這時(shí)，只要適當(dāng)?shù)囟x力迫概念，則可以用力迫法的論證建立構(gòu)造對(duì)象的性質(zhì)。1