[科普中國]-優(yōu)選法

介紹

優(yōu)選法在數(shù)學上就是尋找函數(shù)極值的較快較精確的計算方法。1953年美國數(shù)學家J.基弗提出單因素優(yōu)選法棗分數(shù)法和0.618法（又稱黃金分割法） ，后來又提出拋物線法。至于雙因素和多因素優(yōu)選法，則涉及問題較復雜，方法和思路也較多，常用的有降維法、瞎子爬山法、陡度法、混合法、隨機試驗法和試驗設計法等。優(yōu)選法的應用范圍相當廣泛，中國數(shù)學家華羅庚在生產(chǎn)企業(yè)中推廣應用取得了成效。企業(yè)在新產(chǎn)品、新工藝研究，儀表、設備調試等方面采用優(yōu)選法，能以較少的實驗次數(shù)迅速找到較優(yōu)方案，在不增加設備、物資、人力和原材料的條件下，縮短工期、提高產(chǎn)量和質量，降低成本等。

優(yōu)選法,是指研究如何用較少的試驗次數(shù)，迅速找到最優(yōu)方案的一種科學方法。例如：在現(xiàn)代體育實踐的科學實驗中，怎樣選取最合適的配方、配比；尋找最好的操作和工藝條件；找出產(chǎn)品的最合理的設計參數(shù)，使產(chǎn)品的質量最好，產(chǎn)量最多，或在一定條件下使成本最低，消耗原料最少，生產(chǎn)周期最短等。把這種最合適、最好、最合理的方案，一般總稱為最優(yōu)；把選取最合適的配方、配比，尋找最好的操作和工藝條件，給出產(chǎn)品最合理的設計參數(shù)，叫做優(yōu)選。也就是根據(jù)問題的性質在一定條件下選取最優(yōu)方案。最簡單的最優(yōu)化問題是極值問題，這樣問題用微分學的知識即可解決。

實際工作中的優(yōu)選問題 ，即最優(yōu)化問題，大體上有兩類：一類是求函數(shù)的極值；另一類是求泛函的極值。如果目標函數(shù)有明顯的表達式，一般可用微分法、變分法、極大值原理或動態(tài)規(guī)劃等分析方法求解（間接選優(yōu)）；如果目標函數(shù)的表達式過于復雜或根本沒有明顯的表達式，則可用數(shù)值方法或試驗最優(yōu)化等直接方法求解（直接選優(yōu)）。

優(yōu)選法是盡可能少做試驗，盡快地找到生產(chǎn)和科研的最優(yōu)方案的方法,優(yōu)選法的應用在我國從70年代初開始，首先由我們數(shù)學家華羅庚等推廣并大量應用,優(yōu)選法也叫最優(yōu)化方法。

優(yōu)點怎樣用較少的試驗次數(shù)，打出最合適的訓練量，這就是優(yōu)選法所要研究的問題。應用這種方法安排試驗，在不增加設備、投資、人力和器材的條件下，可以縮短時間、提高質量，達到增強體質．迅速提高運動成績的目的。

基本步驟1）選定優(yōu)化判據(jù)（試驗指標），確定影響因素，優(yōu)選數(shù)據(jù)是用來判斷優(yōu)選程度的依據(jù)。

2）優(yōu)化判據(jù)與影響因素直接的關系稱為目標函數(shù)。

3）優(yōu)化計算。優(yōu)化(選）試驗方法一般分為兩類：

分析法：同步試驗法

黑箱法：循序試驗法

分類優(yōu)選法分為單因素方法和多因素方法兩類。單因素方法1有平分法、0.618法(黃金分割法)、分數(shù)法、分批試驗法等；多因素方法很多．但在理論上都不完備．主要有降維法、爬山法、單純形調優(yōu)勝。隨機試驗法、試驗設計法等。優(yōu)選法已在體育領域得到廣泛應用。

1.單因素優(yōu)選法

如果在試驗時，只考慮一個對目標影響最大的因素，其它因素盡量保持不變，則稱為單因素問題。一般步驟：

（1）首先應估計包含最優(yōu)點的試驗范圍,如果用a表示下限，b表示上限，試驗范圍為[a，b];

（2）然后將試驗結果和因素取值的關系寫成數(shù)學表達式,不能寫出表達式時，就要確定評定結果好壞的方法。

2.多因素優(yōu)選法

多因素問題：首先對各個因素進行分析，找出主要因素，略去次要因素，劃“多”為“少”，以利于解決問題。

計算方法單因素優(yōu)選法解決的問題是針對函數(shù) 在區(qū)間 上有單峰極大值（或者極小值），如何通過更加有效的選點方法縮小極值點的范圍。

在（a,b）區(qū)間內取兩點x1，x2。顯然：

1）當f(x1)>f(x2)時，極大點在（a,x2）的范圍內，（x2,b）的區(qū)間舍去。

2）當f(x1)eps) B(n)=b(n)-a(n); m(n)=yFunc(t(n)); g(n)=yFunc(u(n)); if m(n)>g(n) a(n+1)=t(n); b(n+1)=b(n); t(n+1)=u(n); u(n+1)=a(n+1)+0.618*(b(n+1)-a(n+1)); else a(n+1)=a(n); b(n+1)=u(n); u(n+1)=t(n); t(n+1)=a(n+1)+0.382*(b(n+1)-a(n+1)); end n=n+1; plot(a(n),yFunc(a(n)),'c*'); plot(b(n),yFunc(b(n)),'b*'); pause(0.5);endxStar = (b(n)+a(n))/2; yStar = yFunc(xStar);plot(a(n),yFunc(a(n)),'ro');hold off;t(n)=0;u(n)=0;m(n)=0;g(n)=0;B(n)=b(n)-a(n);n=n-1; log=[a',b',t',u',m',g',B']; function y = yFunc(x) if (length(x)>1) y = x.^2+5.*x;else y = x^2+5*x;end

對應的Fibonacci法的代碼如下：

function [yStar,xStar,log]=FibonacciSearch(a,b,xStep,eps)%% Fibonacci法% 函數(shù)：yFunc為y關于x的函數(shù)，具體形式見最下，此時為：y=x^2+5*x% 輸入：a,b,eps分別代表了區(qū)間[-4,4]及精度；xStep為Fibonacci序列劃分區(qū)間的精度% 輸出：[yStar,xStar] 分別是函數(shù)的最小值及其對應的x值，log紀錄了具體步驟；% 執(zhí)行：在命令行中輸入[yStar,xStar,log]=FibonacciSearch(-4,4,0.2,0.01),% 即可開始在區(qū)間[-4,4]中查找最小值，優(yōu)化精度達到0.01時停止；%figure(1);x = a:0.01:b;y = yFunc(x);plot(x,y,'k-');hold on; n=1;j=1;a(n)=a;b(n)=b;while(Fibonacci(j)*xStepU(n) a(n+1)=r(n); b(n+1)=b(n); r(n+1)=u(n); u(n+1)=a(n+1)+Fibonacci(j-n-1)/Fibonacci(j-n)*(b(n+1)-a(n+1)); else a(n+1)=a(n); b(n+1)=u(n); u(n+1)=r(n); r(n+1)=a(n+1)+(1-Fibonacci(j-n-1)/Fibonacci(j-n))*(b(n+1)-a(n+1)); end plot(a(n),yFunc(a(n)),'c*'); plot(b(n),yFunc(b(n)),'b*'); pause(0.5);endR(j-1)=yFunc(r(j-1));U(j-1)=yFunc(u(j-1));r(j)=r(j-1);u(j)=r(j-1)+eps;R(j)=yFunc(r(j));U(j)=yFunc(u(j));if R(j)>U(j) a(j)=r(j); b(j)=b(j-1);else a(j)=a(j-1); b(j)=u(j);endZ(j-1)=b(j-1)-a(j-1);Z(j)=b(j)-a(j);x=(a(j)+b(j))/2;xStar = (b(n)+a(n))/2; yStar = yFunc(xStar);plot(a(n),yFunc(a(n)),'ro');hold off;log=[a',b',r',u',R',U',Z']; function y = yFunc(x) if (length(x)>1) y = x.^2+5.*x;else y = x^2+5*x;end function F=Fibonacci(n)i=1;Fibonacci(2)=2;Fibonacci(1)=1;if n==0 F=1;else for i=3:1:n Fibonacci(i)=Fibonacci(i-1)+Fibonacci(i-2); end i=n;endF=Fibonacci(i);