[科普中國]-傅里葉積分

概念

傅里葉積分是一種積分在運(yùn)算過程中的變換，它來源于函數(shù)的傅里葉積分表示。以傅里葉變換為工具，研究函數(shù)的許多性質(zhì)，是傅里葉分析的主要內(nèi)容。傅里葉變換在數(shù)學(xué)、物理以及工程技術(shù)中都有重要的應(yīng)用。1

定義一.基本定義和定理基本定義：若函數(shù) f(x)滿足條件

①在任一有限區(qū)間都連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，并且只有有限個極值；

②在(-∞，+∞)上絕對可積，即有限；則定義[f(x)→C(ω)]

為 f(x)的（復(fù)）傅里葉變換；記C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，稱 C(ω)為（復(fù)）傅里葉變換像函數(shù)。

定理：在上面定義的基礎(chǔ)上，可以證明

（在間斷點，右邊的積分收斂到f(x)在該點左右極限的平均值）．稱該積分為 f(x)的傅里葉復(fù)積分；f(x)為 C(ω)的（傅里葉逆變換 C(ω)→f(x)）原函數(shù)。常記。

二. 實數(shù)形式的傅里葉積分和定理對應(yīng)的實函數(shù)形式為：

稱 f(x)的（實數(shù)形式的）傅里葉積分。其中

稱為 f(x)的實傅里葉變換。