[科普中國]-矩陣求逆

初等變換法

求元索為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，常用初等變換法‘如果A可逆，則A’可通過初等變換，化為單位矩陣 I ，即存在初等矩陣使 ：

（1） ；

（2）用 右乘上式兩端，得： ；

比較（1）、（2）兩式，可以看到當A通過初等變換化為單位處陣的同時，對單位矩陣I作同樣的初等變換，就化為A的逆矩陣 。

用矩陣表示：

這就是求逆矩陣的初等行變換法，它是實際應用中比較簡單的一種方法。需要注意的是，在作初等變換時只允許作行初等變換。同樣，只用列初等變換也可以求逆矩陣。

伴隨陣法定理：n階矩陣 為可逆的充分必要條件是A非奇異，且：

其中， 是|A|中元素 的代數(shù)余子式；矩陣

稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，于是有 。

用此方法求逆知陣，對于小型矩陣，特別是二階方陣求逆既方便、快陣，又有規(guī)律可循。因為二階可逆矩陣的伴隨矩陣，只需要將主對角線元素的位置互換，次對角線的元索變號即可。

若可逆矩陣是二階或二階以上矩陣，在求逆矩陣的過程中，需要求9個或9個以上代數(shù)余子式，還要計算一個三階或三階以上行列式，工作量大且中途難免出現(xiàn)符號及計算的差錯。對于求出的逆炬陣是否正確，一般要通過 來檢驗。一旦發(fā)現(xiàn)錯誤，必須對每一計算逐一排查。

定義法和恒等變形法利用定義求逆矩陣定義：設A、B都是n階方陣，如果存在n階方陣B使得AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，而稱B為A的逆矩陣。下面舉例說明這種方法的應用。

恒等變形法恒等變形法求逆矩陣的理論依據(jù)為逆矩陣的定義，此方法也常用與矩陣的理論推導上，就是通過恒等變形把要求的值化簡出來，題目中的逆矩陣可以不求，利用 ，把題目中的逆矩陣化簡掉1。