[科普中國(guó)]-黑塞矩陣

定義

在工程實(shí)際問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，所列的目標(biāo)函數(shù)往往很復(fù)雜，為了使問題簡(jiǎn)化，常常將目標(biāo)函數(shù)在某點(diǎn)鄰域展開成泰勒多項(xiàng)式來逼近原函數(shù)。

二元函數(shù)的黑塞矩陣由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，若一元函數(shù) 在 點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則 在 點(diǎn)處的泰勒展開式為： ，其中 ， 。

二元函數(shù) 在 點(diǎn)處的泰勒展開式為：

其中， 。

將上述展開式寫成矩陣形式，則有：

即：

其中：

是 在 點(diǎn)處的黑塞矩陣。它是由函數(shù) 在 點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)所組成的方陣。1

多元函數(shù)的黑塞矩陣將二元函數(shù)的泰勒展開式推廣到多元函數(shù)，則 在 點(diǎn)處的泰勒展開式的矩陣形式為：

其中：

（1） ，它是 在 點(diǎn)處的梯度。

（2） 為函數(shù) 在 點(diǎn)處的黑塞矩陣。1

黑塞矩陣是由目標(biāo)函數(shù) 在點(diǎn)X處的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的 階對(duì)稱矩陣。2

對(duì)稱性如果函數(shù) 在 區(qū)域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，那么 黑塞矩陣 在 內(nèi)為對(duì)稱矩陣。

原因：如果函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則二階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)順序沒有區(qū)別，即

則對(duì)于矩陣 ，有 ，所以 為對(duì)稱矩陣。

利用黑塞矩陣判定多元函數(shù)的極值定理設(shè)n多元實(shí)函數(shù) 在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)，若有：

并且

則有如下結(jié)果：

（1）當(dāng)A正定矩陣時(shí)， 在 處是極小值；

（2）當(dāng)A負(fù)定矩陣時(shí)， 在 處是極大值；

（3）當(dāng)A不定矩陣時(shí)， 不是極值點(diǎn)。

（4）當(dāng)A為半正定矩陣或半負(fù)定矩陣時(shí)， 是“可疑”極值點(diǎn)，尚需要利用其他方法來判定。3

實(shí)例求三元函數(shù)的極值。

解：因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/O1uZEtWgMWXSUjJEgDXWFZ2PXXvtJAdiuncf.jpg" alt="" />，故該三元函數(shù)的駐點(diǎn)是。

又因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/O5ZqnUy5J9i63il7QyAccs104iPSEnPNiVoM.jpg" alt="" />，

故有：

因?yàn)锳是正定矩陣，故是極小值點(diǎn)，且極小值。3