[科普中國]-李代數(shù)

簡介

一類重要的非結(jié)合代數(shù)。非結(jié)合代數(shù)是環(huán)論的一個(gè)分支，與結(jié)合代數(shù)有著密切聯(lián)系。結(jié)合代數(shù)的定義中把乘法結(jié)合律刪去，就是非結(jié)合代數(shù)。

李代數(shù)是挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李在19世紀(jì)后期研究連續(xù)變換群時(shí)引進(jìn)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，它與李群的研究密切相關(guān)。在更早些時(shí)候，它曾以含蓄的形式出現(xiàn)在力學(xué)中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發(fā)端時(shí)代?？捎美畲鷶?shù)語言表述的最早事實(shí)之一是關(guān)于哈密頓方程的積分問題。李是從探討具有r個(gè)參數(shù)的有限單群的結(jié)構(gòu)開始的，并發(fā)現(xiàn)李代數(shù)的四種主要類型。法國數(shù)學(xué)家嘉當(dāng)在1894年的論文中給出變數(shù)和參變數(shù)在復(fù)數(shù)域中的全部單李代數(shù)的一個(gè)完全分類。他和德國數(shù)學(xué)家基靈都發(fā)現(xiàn)，全部單李代數(shù)分成4個(gè)類型和5個(gè)例外代數(shù)，嘉當(dāng)還構(gòu)造出這些例外代數(shù)。嘉當(dāng)和德國數(shù)學(xué)家外爾還用表示論來研究李代數(shù)，后者得到一個(gè)關(guān)鍵性的結(jié)果?！袄畲鷶?shù)”這個(gè)術(shù)語是1934年由外爾引進(jìn)的。隨著時(shí)間的推移，李代數(shù)在數(shù)學(xué)以及古典力學(xué)和量子力學(xué)中的地位不斷上升。到20世紀(jì)80年代，李代數(shù)不再僅僅被理解為群論問題線性化的工具，它還是有限群理論及線性代數(shù)中許多重要問題的來源。李代數(shù)的理論不斷得到完善和發(fā)展，其理論與方法已滲透到數(shù)學(xué)和理論物理的許多領(lǐng)域。2

定義假設(shè)L是域F上的向量空間。如果L上有一個(gè)運(yùn)算L×L→L，(x,y)→[x,y]滿足以下三個(gè)條件，則稱L是一個(gè)李代數(shù)。3

（1）這個(gè)運(yùn)算是雙線性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。

（2）[x,x]=0，對L中任意元素x∈L。

（3）[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，對所有L中元素x，y，z∈L。

首兩個(gè)條件蘊(yùn)含反對稱性[x,y]=-[y,x]。

條件(3)稱為雅可比恒等式。

我們也可以把[x,]看成一個(gè)導(dǎo)子，即滿足萊布尼茲法則的導(dǎo)算子，將此導(dǎo)子記為ad x。

L的子空間K稱為(李)子代數(shù)，如果K關(guān)于運(yùn)算[,]封閉。L 的子代數(shù)I若滿足[x,y]∈I,對于任意的x∈L,y∈I,則稱I為L的一個(gè)理想或不變子代數(shù)。顯然，它是L的子李代數(shù)。

李代數(shù)g作為F上向量空間,它的維數(shù)稱為李代數(shù)g的維數(shù)。

設(shè)g是域F上一個(gè)向量空間,在g中定義換位運(yùn)算：對于X,Y∈g，令【X,Y】=0，則g作成一個(gè)李代數(shù)，稱為交換（或阿貝爾）李代數(shù)。

在R^3={(x1,x2,x3)|xi∈R,R 是實(shí)數(shù)域，i=1, 2，3}中, 設(shè)：

則R3作成R上一個(gè)李代數(shù)。

令V 是域F上一個(gè)向量空間?？芍猇的一切線性變換作成F上一個(gè)向量空間，設(shè)?、g是V的線性變換,令?g表示?與g的合成,并定義【?,g】=?g-g?，直接驗(yàn)證可知，V的全體線性變換所組成的向量空間，對于這樣定義的換位運(yùn)算,作成F上一個(gè)李代數(shù)。這個(gè)李代數(shù)稱為全線性李代數(shù)，記作g{(V)。

類似地,域F上全體n×n矩陣所組成的向量空間，對于換位運(yùn)算【A,B】=A****B-B****A（A、B是n×n矩陣）,作成F上一個(gè)李代數(shù)，并稱之為F上全陣?yán)畲鷶?shù)，記作g{(n,F)。

更一般地,設(shè)U是域F上一個(gè)結(jié)合代數(shù)。對于α、b∈U定義【α,b】=αb-bα，則U作成F上一個(gè)李代數(shù)。

子代數(shù)、理想、商代數(shù)、同態(tài) 令g是域F上一個(gè)李代數(shù)，α、b是g的子空間。記【α,b】={Σ【A,B】(有限和)│A∈α,B∈b }，則【α, b】是g的一個(gè)子空間。設(shè)α是g的一個(gè)子空間。如果【α, α】嶅α，那么就稱α是g的一個(gè)子代數(shù);如果【α, g】嶅α,那么α就稱為g的一個(gè)理想。由于【α,g】=【g,α】，因此李代數(shù)的理想都是雙邊的。如果α是g的一個(gè)理想，在商空間g/α里，定義【X+α,Y+α】=【X,Y】+α，那么g/α作成F上一個(gè)李代數(shù),稱為g模α的商代數(shù)。

設(shè)g1、g2是域F上李代數(shù)。?:g1→g2是一個(gè)線性映射。如果對于X、Y∈g,?(【X,Y】)=【?(X), ?(Y)】，那么?就稱為一個(gè)同態(tài)映射。如果?還是一個(gè)雙射，那么就稱?是一個(gè)同構(gòu)映射,這時(shí)g1與g2就稱為同構(gòu),記作g1≌g2。設(shè)?:g1→g2是一個(gè)同態(tài)映射，則 Im ?=?(g1)是g2的一個(gè)子代數(shù),而Ker?=?-1(0)是g1的一個(gè)理想，并且?導(dǎo)出一個(gè)同構(gòu)g1/Ker ?≌Im ?。

設(shè)V是域F上一個(gè)n維向量空間。通過取定V的一個(gè)基，可以在全線性李代數(shù)g{（V）與全陣?yán)畲鷶?shù) g{(n, F)之間建立同構(gòu)，因而常把這兩個(gè)李代數(shù)看成是一樣的。g{(n,F)（或g{(V)）的子代數(shù)稱為線性李代數(shù)。一些重要的線性李代數(shù)如下： t(n,F)={(αij)|(αij)∈g{(n,F)，αij=0,若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩陣所組成的集合。 n(n,F)={(αij)|(αij)∈t(n,F),αij=0,1≤i≤n}，即主對角線上元素都是0的 n×n上三角形矩陣所組成的集合。

容易驗(yàn)證,t(n,F)和n(n,F)都是g{(n,F)的子代數(shù)。

域F上一切跡是0(即主對角線上元素的和等于0)的n×n 矩陣,作成g{(n,F)的一個(gè)理想,記作s{(n,F)。當(dāng)F是復(fù)數(shù)域，而n=l+1(l≥1)時(shí)，這個(gè)李代數(shù)通常記作Al，稱為特殊線性李代數(shù)。

取定域F上一個(gè)n×n對稱或反對稱矩陣M。 令g={X∈g{(n,F)| tXM+MX =0}(X表示X的轉(zhuǎn)置), 則g是g{(n,F)的子代數(shù)?，F(xiàn)設(shè)F是復(fù)數(shù)域，M是一個(gè)非退化對稱矩陣，于是M與以下兩個(gè)矩陣之一合同：

當(dāng)n=2l+1時(shí)，有：

當(dāng)n=2l時(shí)，有：

在前一情形，與之相當(dāng)?shù)膅記作Bl；在后一情形，記作Dl。這兩類李代數(shù)都稱為正交代數(shù)。如果M是一個(gè)非退化反對稱矩陣，那么n一定是偶數(shù)：n=2l，因此M與合同。與此相當(dāng)?shù)睦畲鷶?shù)g稱為辛代數(shù)，記作Cl。

可解李代數(shù)、冪零李代數(shù) 設(shè)g是域F上一個(gè)李代數(shù)，α、b是g的理想，那么【α,b】仍是g的一個(gè)理想，特別,g(1)=【g,g】, g(2)=【g(1),g(1)】,…,gn+1=【g(n), g(n)】，…都是g的理想。于是有g(shù)叾g(1)叾g(2)叾…，稱為g的導(dǎo)出鏈。g(1)稱為g的導(dǎo)出代數(shù)。如果存在一個(gè)正整數(shù)n，使得g(n)={0}，那么就說g是可解的。

再定義g1=g,g2=【g,g1】,…,gn+1=【g,gn】,…，又可得到g的一個(gè)理想序列g(shù)1叾g2叾…,稱為g的降中心鏈。如果存在一個(gè)正整數(shù)n，使得gn={0}，那么就說g是冪零的。因?yàn)間(i)嶅gi，所以冪零李代數(shù)一定是可解的。

恩格爾定理令V是域F上一個(gè)n（大于零）維向量空間，g是g{(V)的一個(gè)子代數(shù)。如果g的元素都是V的冪零線性變換, 那么存在V的一個(gè)非零向量v，使得對于每一個(gè)X∈g都有X·v=0，因此，適當(dāng)選取V的基，并且將g{(V)與g{(n,F)看成一樣的,就有g(shù)嶅n(n,F)。

李定理令F是一個(gè)特征為0的代數(shù)閉域，V是F上一個(gè)n（大于零）維向量空間,g是g{(V)的一個(gè)可解子代數(shù)，則存在V 的一個(gè)非零向量v，使得對于每一X ∈g都有Xv=φ(X)v，φ(X)∈F。因此適當(dāng)選取V的基可以使得g嶅t(n，F(xiàn))。

單李代數(shù)、半單李代數(shù) 域F上一個(gè)李代數(shù)g是所謂單的，即指除了g本身和{0}以外,g不含其他理想。F上一個(gè)有限維李代數(shù)g是所謂半單的，即指g不含非零可解理想。每一個(gè)有限維李代數(shù)g都含有惟一的最大可解理想r,就是這樣一個(gè)理想, 它包含g的一切可解理想，稱為g的根基。g是半單的當(dāng)且僅當(dāng)它的根基 r={0}。除一維李代數(shù)外,有限維單李代數(shù)都是半單的。特征為0的域上每一個(gè)半單李代數(shù)都是一些單李代數(shù)的直和。4

李代數(shù)的表示令g是域F上一個(gè)李代數(shù)，V 是F上一個(gè)向量空間。李代數(shù)的一個(gè)同態(tài)ρ: g→g{(V)，稱為g在V上的一個(gè)線性表示,簡稱表示。用(ρ，V)代表g在V上的表示ρ，V稱為ρ的表示空間。當(dāng)dimV=n時(shí),取定V的一個(gè)基，將g{(V)與g{(n,F)看成一樣,于是就得到一個(gè)李代數(shù)同態(tài)ρ: g→g{(n,F)，仍記作ρ,稱為g的一個(gè)矩陣表示。如果g的一個(gè)表示ρ是單射，那么就稱(ρ,V)是一個(gè)忠實(shí)表示。有阿多－巖沢定理：域F上每一個(gè)有限維李代數(shù)都有一個(gè)忠實(shí)表示。

設(shè)(ρ,V)是李代數(shù)g的一個(gè)表示。V的一個(gè)子空間W稱為ρ(g)不變的，即指W在一切ρ(X)(X∈g)之下不變。李代數(shù)g的一個(gè)表示(ρ,V)稱為不可約的，是指除{0}和V本身外,V沒有其他ρ(g)不變子空間。所謂(ρ,V)是完全可約的,意即V是一些ρ(g)不變的子空間的直和,并且ρ在每一個(gè)這樣的子空間上的限制都是不可約的。有外爾定理：特征為 0的域上半單李代數(shù)的每一（有限維）表示都是完全可約的。

最重要的一種表示就是所謂伴隨表示。設(shè)X是李代數(shù)g的一個(gè)元素。對于每一Y∈g，定義adX(Y)=【X,Y】，則adX是g的一個(gè)線性變換,并且ad∶X→adX(X∈g)是g到g{(g)的一個(gè)同態(tài)映射(利用雅可比恒等式很容易驗(yàn)證)。因此，(ad,g)是g的一個(gè)表示。表示空間就是g本身，稱為g的伴隨表示。

設(shè)(ρ，V)是g的一個(gè)有限維表示。定義一個(gè)對稱雙線性型 k:g×g→F；對于X、Y ∈g, 定義k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的跡)。特別,當(dāng)g是有限維的而ρ是伴隨表示ad時(shí), k稱為g的基靈型?；`型在研究李代數(shù)的結(jié)構(gòu)中起重要的作用。例如有嘉當(dāng)判定準(zhǔn)則：特征為0的域上一個(gè)(有限維)李代數(shù)是半單的,必要而且只要g的基靈型非退化。

例子具體例子1. 設(shè)V是域F上的線性空間，則V上線性變換全體構(gòu)成了一個(gè)線性空間，記為gl(V)。定義[x,y]=xy-yx，這里x，y是gl(V)中元素，xy和yx都是線性變換的復(fù)合，則gl(V)關(guān)于這個(gè)運(yùn)算構(gòu)成李代數(shù)。這個(gè)李代數(shù)稱為一般線性代數(shù)(general linear algebra)。5

2. 設(shè)V是域F上的l+1維線性空間，則V上跡為0的線性變換構(gòu)成一個(gè)線性空間，記為sl(V)。定義[x,y]=xy-yx，這里x，y是sl(V)中元素，xy和yx都是線性變換的復(fù)合，則sl(V)關(guān)于這個(gè)運(yùn)算構(gòu)成李代數(shù)。這個(gè)李代數(shù)稱為特殊線性代數(shù)(special linear algebra)。

3. 三維向量空間， 運(yùn)算定義為通常的外積(叉乘)運(yùn)算。

抽象例子1. L的中心Z(L)={z∈L | [x,z]=0, 對所有 x∈L}是一個(gè)李代數(shù)。

2. 集合[L,L]稱為導(dǎo)出代數(shù)，是由所有[x,y]線性組合構(gòu)成的集合。它是一個(gè)李代數(shù)。