[科普中國]-泛函

產(chǎn)生

十九世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個新的階段。這就是，由于對歐幾里得第五公設(shè)的研究，引出了非歐幾何這門新的學(xué)科；對于代數(shù)方程求解的一般思考，最后建立并發(fā)展了群論；對數(shù)學(xué)分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統(tǒng)一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準(zhǔn)備了條件。

二十世紀(jì)初，瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪發(fā)表的著作中，出現(xiàn)了把分析學(xué)一般化的萌芽。隨后，希爾伯特和海令哲開創(chuàng)了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成了一般分析學(xué)，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析學(xué)中許多新部門的形成，揭示出分析、代數(shù)、幾何的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數(shù)方程求根和微分方程求解都可以應(yīng)用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現(xiàn)得就更為突出了。泛函分析的產(chǎn)生正是和這種情況有關(guān)，有些乍看起來很不相干的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發(fā)人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬于本質(zhì)的東西。

非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認(rèn)知，n維空間幾何的產(chǎn)生允許我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進(jìn)一步推廣，以至最后把歐氏空間擴充成無窮維數(shù)的空間。

這時候，函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個數(shù)集之間所建立的一種對應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應(yīng)關(guān)系。這里我們先介紹一下算子的概念。算子也叫算符，在數(shù)學(xué)上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子。研究無限維線性空間上的泛函數(shù)和算子理論，就產(chǎn)生了一門新的分析數(shù)學(xué)，叫做泛函分析。在二十世紀(jì)三十年代，泛函分析就已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一門獨立的學(xué)科了。1

定義簡單的說， 泛函就是定義域是一個函數(shù)集，而值域是實數(shù)集或者實數(shù)集的一個子集，推廣開來， 泛函就是從任意的向量空間到標(biāo)量的映射。也就是說，它是從函數(shù)空間到數(shù)域的映射。

設(shè){y}是給定的函數(shù)集，如果對于這個函數(shù)集中任一函數(shù)y(x) 恒有某個確定的數(shù)與之對應(yīng)，記為П(y(x))，則П(y(x))是定義于集合{y(x)}上的一個泛函。

泛函定義域內(nèi)的函數(shù)為可取函數(shù)或容許函數(shù)， y(x) 稱為泛函П的變量函數(shù)。

泛函П(y(x))與可取函數(shù)y(x)有明確的對應(yīng)關(guān)系。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質(zhì)決定的。

泛函也是一種“函數(shù)”，它的獨立變量一般不是通常函數(shù)的“自變量”，而是通常函數(shù)本身。泛函是函數(shù)的函數(shù)。由于函數(shù)的值是由自變量的選取而確定的，而泛函的值是由自變量函數(shù)確定的，故也可以將其理解為函數(shù)的函數(shù)

泛函的自變量是函數(shù)，泛函的自變量稱為宗量。

簡言之，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。2

常見泛函如果連續(xù)泛函滿足下列條件：

其中C為任意常數(shù)，就稱之為線性泛函。

如果連續(xù)泛函滿足下列條件：

且

就稱之為二次性泛函。2

特點泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數(shù)空間。

泛函分析對于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運動，實際上需要有新的數(shù)學(xué)工具來描述具有無窮多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學(xué)系統(tǒng)的例子。一般來說，從質(zhì)點力學(xué)過渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度系統(tǒng)。現(xiàn)代物理學(xué)中的量子場理論就屬于無窮自由度系統(tǒng)。

正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求 n維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具一樣，研究無窮自由度的系統(tǒng)需要無窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學(xué)科中。

泛函分析是分析數(shù)學(xué)中最“年輕”的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點研究無窮維向量空間上的函數(shù)、算子、和極限理論。他在二十世紀(jì)四十到五十年代就已經(jīng)成為一門理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。1

內(nèi)容半個多世紀(jì)來，泛函分析一方面以其他眾多學(xué)科所提供的素材來提取自己研究的對象，和某些研究手段，并形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數(shù)、拓?fù)渚€性空間理論、廣義函數(shù)論等等；另一方面，它也強有力地推動著其他不少分析學(xué)科的發(fā)展。它在微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理、計算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，還是建立群上調(diào)和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經(jīng)滲入到不少工程技術(shù)性的學(xué)科之中，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。

泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計算數(shù)學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。近十幾年來，泛函分析在工程技術(shù)方面有獲得更為有效的應(yīng)用。它還滲透到數(shù)學(xué)內(nèi)部的各個分支中去，起著重要的作用。1

應(yīng)用泛函分析是研究無限維抽象空間及其分析的學(xué)科。它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中發(fā)生根本性轉(zhuǎn)折的最明顯的表現(xiàn)。這種轉(zhuǎn)折，堪與世紀(jì)把變量引入數(shù)學(xué)而導(dǎo)致微積分的產(chǎn)生相比擬。它概括了經(jīng)典數(shù)學(xué)分析的重要概念和方法，又滲入量子物理學(xué)、現(xiàn)代工程技術(shù)和現(xiàn)代力學(xué)的營養(yǎng)。它綜合運用分析的、代數(shù)的、幾何的方法，研究分析數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理和現(xiàn)代工程技術(shù)中的許多問題。它的特點是探求一般性和統(tǒng)一性，這也是世紀(jì)數(shù)學(xué)的特征之一。它不是孤立的考察各個函數(shù)以及聯(lián)系它們的關(guān)系和方程，而是把這些對象作為一個總體來研究，即研究函數(shù)空間和它們的變換，而古典分析是研究實數(shù)集合或復(fù)數(shù)集合上的函數(shù)的性質(zhì)。泛函分析具有高度抽象的方法，即能把初看起來相距甚遠(yuǎn)的問題十分巧妙的統(tǒng)一起來進(jìn)行研究。

泛函分析有力的推動了其他分析分支的發(fā)展，使整個分析領(lǐng)域的面貌發(fā)生了巨大變化。同時，對幾何和拓?fù)湟伯a(chǎn)生了重大影響。泛函分析的觀點與方法還廣泛滲透到其他科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域，泛函分析已經(jīng)而且正在應(yīng)用到廣義矩量問題、統(tǒng)計力學(xué)、偏微分方程的存在唯一性定理以及不動點定理。泛函分析現(xiàn)在在變分法和連續(xù)緊群的表示論中都起著作用。它的內(nèi)容還包含在代數(shù)、近似算法、拓?fù)浜蛯嵶兒瘮?shù)論中。1