[科普中國]-模型論

定義

一個(gè)模型可以形式化的定義在某種語言L的上下文中。 模型由兩個(gè)對象組成:

一個(gè)全集 U 包含所有相關(guān)的對象("論域")。

一個(gè)映射，從L到U (稱為計(jì)算映射或解釋函數(shù))，它的定義域?yàn)樵撜Z言中的所有常數(shù)、謂詞和函數(shù)符號。

一個(gè)理論定義為一個(gè)自洽的句子的集合；通常它也定義為必須在推理規(guī)則下封閉。例如，在某種模型(如實(shí)數(shù))下為真的所有句子的集合是一個(gè)理論。

哥德爾完備定理表明理論有一個(gè)模型當(dāng)且僅當(dāng)它是自洽的，也就是說沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因?yàn)樗沟梦覀兡軌蛲ㄟ^檢視模型回答關(guān)于理論的問題，反之亦然。不要把完備定理和完備理論的概念混淆。一個(gè)完備的理論是包含每個(gè)句子或其否命題的理論。重要的是，一個(gè)完備的自洽理論可以通過擴(kuò)展一個(gè)自洽的理論得到。

緊定理說一組語句S只有在其每一個(gè)有限的亞組是可滿足的情況下才是可滿足的（即有一個(gè)模型）。在證明理論的范圍內(nèi)類似的定義是下顯而易見的，因?yàn)槊總€(gè)證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的范疇內(nèi)這個(gè)證明就更困難了。已知的有兩個(gè)證明方法，一個(gè)是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個(gè)是阿納托利·伊萬諾維奇·馬爾采夫提出的（這個(gè)更直接,并允許我們限制最后模型的基數(shù)）。

模型論一般與一階邏輯有關(guān)。許多模型論的重要結(jié)果(例如完備性和緊致性定理)在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對于一個(gè)可數(shù)的語言，所有無限的基數(shù)都是相同的。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達(dá)，它說任何有一個(gè)無限模型A的理論有各種無限基數(shù)的模型，它們和A在所有語句上一致，即它們初等等價(jià)。1

研究方向研究形式語言與其解釋(模型)之間的關(guān)系，也就是形式語言的語法與語義之間的關(guān)系。數(shù)理邏輯的主要分支之一。模型論把形式語言中的公式、句子、理論(句子集)和模型當(dāng)作數(shù)學(xué)對象，引進(jìn)了近世代數(shù)中的一些概念、方法，從而模型論的一些結(jié)果和方法也被用到數(shù)學(xué)之中。因此，模型論的一些基本方法，如構(gòu)造模型的常量方法，圖像方法，模型鏈，超積也已成為常用的方法。一階邏輯的模型論是模型論的基礎(chǔ)，事實(shí)上，任何一種邏輯系統(tǒng)都有各自的模型論 。 除各種邏輯的模型論外，模型論的新發(fā)展層出不窮 ； 用模型論手法來研究邏輯系統(tǒng)，也叫做模型論邏輯；用模型論方法比較各種邏輯系統(tǒng)的強(qiáng)弱，分析各種邏輯系統(tǒng)的特點(diǎn)，叫抽象邏輯的模型論。用遞歸論方法研究模型論問題產(chǎn)生遞歸模型論。只研究有限模型的構(gòu)造和判定叫有限模型論 。 用模型論的思想去研究代數(shù)結(jié)構(gòu)、群、環(huán)、模、域等叫做代數(shù)模型論。研究模型分類的理論叫穩(wěn)定性理論?，F(xiàn)代模型論對計(jì)算機(jī)科學(xué)也有一定影響。1

數(shù)學(xué)上的研究數(shù)學(xué)上，模型論是研究數(shù)學(xué)對象用集合論的屬于表示數(shù)學(xué)概念的學(xué)科，或者是研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)的組成模型的學(xué)科。它假定存在一些預(yù)先存在的數(shù)學(xué)對象，然后研究，給定這些對象、操作或者對象間的關(guān)系、以及一組公理時(shí)，什么可以被證明，如何證明的問題。

選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與集合論其他公理的獨(dú)立性(由Paul Cohen和哥德爾證明)是模型論中產(chǎn)生的最著名的結(jié)果。選擇公理和其逆命題都被證明和集合論的策墨羅-弗蘭克公理相容；同樣的結(jié)果對于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)也成立。這些結(jié)果是公理化集合論的一部分，而那是模型論的一個(gè)特定應(yīng)用。

實(shí)數(shù)的理論給出了模型論概念的一個(gè)例子。我們從個(gè)體的一個(gè)集合開始，其中每個(gè)個(gè)體都是一個(gè)實(shí)數(shù)，還有一個(gè)關(guān)系和(或)函數(shù)的集合，例如{ ×, +, ?, ., 0, 1 }。若我們在這種語言中有一個(gè)類似于"? y (y × y = 1 + 1)"的問題，那么很清楚這個(gè)句子對于實(shí)數(shù)是真的 - 確實(shí)存在這樣的一個(gè)實(shí)數(shù)y, 也就是2的平方根；對于有理數(shù)，這個(gè)句子卻是假的。一個(gè)類似的命題，"? y (y × y = 0 ? 1)"，在實(shí)數(shù)中是假的，但在復(fù)數(shù)中是真的，因?yàn)?i × i = 0 ? 1。

模型論研究什么是在給定的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中可證的，以及這些系統(tǒng)相互間的關(guān)系。它特別注重研究當(dāng)我們試圖通過加入新公理和新語言構(gòu)造時(shí)會(huì)發(fā)生什么。1

定理哥德爾完備性定理表明理論有一個(gè)模型當(dāng)且僅當(dāng)它是自洽的，也就是說沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因?yàn)樗沟梦覀兡軌蛲ㄟ^檢視模型回答關(guān)于理論的問題，反之亦然。不要把完備定理和完備理論的概念混淆。一個(gè)完備的理論是包含每個(gè)句子或其否命題的理論。重要的是，一個(gè)完備的自洽理論可以通過擴(kuò)展一個(gè)自洽的理論得到。

緊致性定理說一組語句S是可滿足的（即有一個(gè)模型）當(dāng)且僅當(dāng)S的每一個(gè)有限子集可滿足。在證明理論的范圍內(nèi)類似的定義是下顯而易見的，因?yàn)槊總€(gè)證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的范疇內(nèi)這個(gè)證明就更困難了。目前已知的有兩個(gè)證明方法，一個(gè)是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個(gè)是阿納托利·伊萬諾維奇·馬爾采夫提出的（這個(gè)更直接，并允許我們限制最后模型的基數(shù)）。

模型論一般與一階邏輯有關(guān)。許多模型論的重要結(jié)果(例如哥德爾完備性定理和緊致性定理)在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對于一個(gè)可數(shù)的語言，任何理論都有可數(shù)的模型。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達(dá)，它說對于任何可數(shù)的語言中的任何有一個(gè)無限模型都有一個(gè)可數(shù)的初等子模型。 莫雷(Morley)證明了著名的范疇定理，即對于可數(shù)語言的任何可數(shù)完備理論，如果它在某個(gè)不可數(shù)基數(shù)上是范疇的，則它在所有不可基數(shù)上都是范疇的。這個(gè)定理極大的刺激了模型論的發(fā)展，產(chǎn)生了后來的所謂穩(wěn)定性理論(stable theory)。

近來模型論更加著重于對于其它數(shù)學(xué)分支，尤其是代數(shù)和代數(shù)幾何，的應(yīng)用。2

研究意義尤其集合論(其語言可數(shù))有可數(shù)的模型，這個(gè)被稱為Skolem佯謬，雖然它是真的(如果你接受集合論公理的話)。如果要知道為什么它被認(rèn)為是佯謬，讓我們考慮集合論中假設(shè)不可數(shù)集存在的句子-而這些句子在我們可數(shù)的模型中為真。特別的有，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)要求考慮模型中的集合，它們從模型的內(nèi)部看起來不可數(shù)，但對模型外的人來講是可數(shù)的。1