[科普中國(guó)]-伽羅瓦理論

簡(jiǎn)介

伽羅瓦理論是以伽羅瓦(Galois，E.)的名字命名的，用群論觀點(diǎn)研究代數(shù)方程求解的理論.它源于代數(shù)方程的根式解問題.早在公元前幾世紀(jì)，巴比倫人用配方法解二次方程之后，經(jīng)歷兩千多年的漫長(zhǎng)歲月，直到16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家才給出三次方程的求根公式，即卡爾達(dá)諾(Cardano，G.)公式。其后，卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里(Ferrari，L.)又得出四次方程的求解方法。于是，人們推斷五次方程也存在根式解.許多數(shù)學(xué)家都曾盡力尋求，如歐拉(Euler，L.)、拉格朗日(Lagrange，J.-L.)、魯菲尼(Ruffini，P.)等，但都告失敗。拉格朗日首先懷疑五次方程存在根式解.直到1826年，當(dāng)時(shí)年僅24歲的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel，N.H.)才首先證明高于4次的一般代數(shù)方程不能用根式解，同時(shí)給出一類能用根式解的方程.這類方程現(xiàn)稱拉格朗日方程.但是，阿貝爾沒有給出一個(gè)法則來判別一個(gè)高于四次的具體代數(shù)方程能否有根式解。其后不久，伽羅瓦天才地建立了代數(shù)方程的伽羅瓦域的子域與它的伽羅瓦群的子群間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，證明了代數(shù)方程能用根式解的充分必要條件是其伽羅瓦群為可解群.從而徹底解決這一問題。

1828年，年僅17歲的伽羅瓦寫了“關(guān)于五次代數(shù)方程的解法問題”等兩篇論文，送法國(guó)科學(xué)院但不受重視，被柯西(Cauchy，A.-L.)遺失了。1831年，伽羅瓦又完成了“關(guān)于用根式解方程的可解性條件”，院士泊松(Poisson，S.-D.)的審查意見是“完全不能理解，予以退回”.不滿21歲的伽羅瓦在決斗前夕將草稿寄給他的朋友，14年后，1846年，劉維爾(Liouville，J.)在他創(chuàng)辦的《純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)》雜志上首次發(fā)表了伽羅瓦的部分文章.第一個(gè)全面介紹伽羅瓦理論的是若爾當(dāng)(Jordan，M.E.C.)，他是在1870年出版的《論置換群與代數(shù)方程》一書給出的.伽羅瓦應(yīng)用置換群這一工具，不僅證明一般高于四次的代數(shù)方程不能用根式求解，而且還建立了具體數(shù)字代數(shù)方程可用根式解的判別準(zhǔn)則。應(yīng)用伽羅瓦理論很容易地否定回答所謂幾何三大難題。

伽羅瓦理論在1928年已由克魯爾(Krull，W.)推廣到無限可分正規(guī)擴(kuò)域上.伽羅瓦理論不僅對(duì)近代代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，也滲透到數(shù)學(xué)的其他許多分支1。

發(fā)展歷史經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)，一些著名的數(shù)學(xué)家，如歐拉、旺德蒙德、拉格朗日、魯菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的進(jìn)展。19世紀(jì)上半葉，阿貝爾受高斯處理二項(xiàng)方程 (p為素?cái)?shù))的方法的啟示，研究五次以上代數(shù)方程的求解問題，終于證明了五次以上的方程不能用根式求解。他還發(fā)現(xiàn)一類能用根式求解的特殊方程。這類方程現(xiàn)在稱為阿貝爾方程。阿貝爾還試圖研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成這項(xiàng)工作。

伽羅瓦從1828年開始研究代數(shù)方程理論(當(dāng)時(shí)他并不了解阿貝爾的工作)，他試圖找出為了使一個(gè)方程存在根式解，其系數(shù)所應(yīng)滿足的充分和必要條件。到1832年他完全解決了這個(gè)問題。在他臨死的前夜，他將結(jié)果寫在一封信中，留給他的一位朋友。1846年他的手稿才公開發(fā)表。伽羅瓦完全解決了高次方程的求解問題，他建立于用根式構(gòu)造代數(shù)方程的根的一般原理，這個(gè)原理是用方程的根的某種置換群的結(jié)構(gòu)來描述的，后人稱之為“伽羅瓦理論”。伽羅瓦理論的建立，不僅完成了由拉格朗日、魯菲尼、阿貝爾等人開始的研究，而且為開辟抽象代數(shù)學(xué)的道路建立了不朽的業(yè)績(jī)。

思想建立在幾乎整整一個(gè)世紀(jì)中，伽羅瓦的思想對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了決定性的影響。伽羅瓦理論被擴(kuò)充并推廣到很多方向。戴德金曾把伽羅瓦的結(jié)果解釋為關(guān)于域的自同構(gòu)群的對(duì)偶定理。隨著20世紀(jì)20年代拓?fù)浯鷶?shù)系概念的形成，德國(guó)數(shù)學(xué)家克魯爾推廣了戴德金的思想，建立了無限代數(shù)擴(kuò)張的伽羅瓦理論。伽羅瓦理論發(fā)展的另一條路線，也是由戴德金開創(chuàng)的，即建立非交換環(huán)的伽羅瓦理論。1940年前后，美國(guó)數(shù)學(xué)家雅各布森開始研究非交換環(huán)的伽羅瓦理論，并成功地建立了交換域的一般伽羅瓦理論。伽羅瓦理論還特別對(duì)尺規(guī)作圖問題給出完全的刻畫。人們已經(jīng)證明：這種作圖問題可歸結(jié)為解有理數(shù)域上的某些代數(shù)方程。這樣一來，一個(gè)用直尺和圓規(guī)作圖的問題是否可解，就轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)方程的伽羅瓦群的性質(zhì)。

基本內(nèi)容域的正規(guī)可分?jǐn)U張定義為伽羅瓦擴(kuò)張。

若K/F為伽羅瓦擴(kuò)張，K上的F-自同構(gòu)的集合構(gòu)成一個(gè)群，定義為伽羅瓦群，記為Gal(K/F)。

對(duì)于H是Gal(K/F)的子群，稱K中在H中任意元素作用下不動(dòng)元的集合為H的不動(dòng)域，這是一個(gè)中間域。

對(duì)于伽羅瓦擴(kuò)張，擴(kuò)張的中間域和伽羅瓦群的子群有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

F?E?K形式的伽羅瓦擴(kuò)張，E/F是正規(guī)擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)Gal(K/E)是Gal(K/F)的正規(guī)子群。

在特征為0的域上，多項(xiàng)式的根可用根式解當(dāng)且僅當(dāng)其分裂域擴(kuò)張的伽羅瓦群是可解群。

廣義上的伽羅瓦理論還包括尺規(guī)作圖，諾特方程，循環(huán)擴(kuò)張，庫(kù)默爾理論等內(nèi)容。