[科普中國(guó)]-阿貝爾群

命名

阿貝爾群是Camille Jordan以挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·阿貝爾命名，他首先察覺(jué)到了阿貝爾首先發(fā)表的這種與根式可解性的聯(lián)系的重要性。由阿貝爾群分解定理， 任何阿貝爾群可以分解成一些整數(shù)群和剩余類群的直和， 這個(gè)分解是唯一的， 其中分解出來(lái)的整數(shù)群的個(gè)數(shù)稱為阿貝爾群的秩。比阿貝爾群更廣泛的概念是模的概念，阿貝爾群就是整數(shù)環(huán)上的模。阿貝爾群有兩個(gè)傳統(tǒng)的記號(hào)方式：加法及乘法。常用加法表示群運(yùn)算。2

定義亦稱交換群。一種重要的群類。對(duì)于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若群G的運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由于阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運(yùn)算常用加法來(lái)表示，此時(shí)群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負(fù)元).用加法表示的交換群稱為加法群或加群。

阿貝爾群是有著群運(yùn)算符合交換律性質(zhì)的群，因此阿貝爾群也被稱為交換群。它由自身的集合 G 和二元運(yùn)算 * 構(gòu)成。它除了滿足一般的群公理，即運(yùn)算的結(jié)合律、G 有單位元、所有 G 的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理

因?yàn)榘⒇悹柸旱娜哼\(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，群元素乘積的值與乘法運(yùn)算時(shí)的次序無(wú)關(guān)。

而群運(yùn)算不滿足交換律的群被稱為“非阿貝爾群”，或“非交換群”。

定理設(shè)是一個(gè)群，是阿貝爾群的充要條件是對(duì)任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

任何一個(gè)循環(huán)群必定是阿貝爾群。

符號(hào)阿貝爾群有兩種主要運(yùn)算符號(hào) — 加法和乘法。

|| ||

一般地說(shuō)，乘法符號(hào)是群的常用符號(hào)，而加法符號(hào)是模的常用符號(hào)。當(dāng)同時(shí)考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時(shí)，加法符號(hào)還可以用來(lái)強(qiáng)調(diào)阿貝爾群是特定群。

乘法表驗(yàn)證有限群是阿貝爾群，可以構(gòu)造類似乘法表的一種表格(矩陣)，它稱為凱萊表。如果群 G = {g1 = e, g2, ..., gn} 在運(yùn)算 ? 下，則這個(gè)表的第 (i, j) 個(gè)表項(xiàng)包含乘積 gi ? gj。群是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)表是關(guān)于主對(duì)角線是對(duì)稱的(就是說(shuō)這個(gè)矩陣是對(duì)稱矩陣)。

這是成立的因?yàn)槿绻怯诎⒇悹柸?，則 gi ? gj = gj ? gi。這蘊(yùn)含了第 (i, j) 個(gè)表項(xiàng)等于第 (j, i) 個(gè)表項(xiàng)，就是說(shuō)這個(gè)表示關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的。

例子整數(shù)集和加法運(yùn)算 "+" 是阿貝爾群，指示為 (Z,+)，運(yùn)算 + 組合兩個(gè)整數(shù)形成第三個(gè)整數(shù)，加法是符合結(jié)合律的，零是加法單位元，所有整數(shù) n 都有加法逆元 ?n，加法運(yùn)算是符合交換律的因?yàn)閷?duì)于任何兩個(gè)整數(shù) m 和 n 有 m + n = n + m。

所有循環(huán)群 G 是阿貝爾群。因此整數(shù)集 Z 形成了在加法下的阿貝爾群，整數(shù)模也是。

所有環(huán)都是關(guān)于它的加法運(yùn)算的阿貝爾群。在交換環(huán)中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實(shí)數(shù)集是在加法下的阿貝爾群，非零實(shí)數(shù)集在乘法下是阿貝爾群。

所有阿貝爾群的子群都是正規(guī)子群，所以每個(gè)子群都引發(fā)商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。

矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话闶遣豢山粨Q的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個(gè)例子是 2x2 旋轉(zhuǎn)矩陣的群。3

性質(zhì)如果n是自然數(shù)而x是使用加號(hào)的阿貝爾群G的一個(gè)元素，則nx可以定義為x + x + ... + x（n個(gè)數(shù)相加）并且（?n）x = ?（nx）。以這種方式，G變成在整數(shù)的環(huán)Z上的模。事實(shí)上，在Z上的模都可以被識(shí)別為阿貝爾群。

關(guān)于阿貝爾群（比如在主理想整環(huán)Z上的模）的定理經(jīng)?？梢酝茝V到在任意主理想整環(huán)上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環(huán)上的有限生成模的結(jié)構(gòu)定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個(gè)定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如Z/pkZ對(duì)于素?cái)?shù)p的有限多個(gè)群的直和，而后者是有限多個(gè)Z的復(fù)本的直和。

如果f, g : G → H是在阿貝爾群之間的兩個(gè)群同態(tài)，則它們的和f + g，定義為(f + g)(x) = f(x) + g(x)，也是阿貝爾同態(tài)。（如果H是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從G到H的群同態(tài)的集合Hom(G, H)因此是自身方式下的阿貝爾群。

某種程度上類似于向量空間的維度，所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無(wú)關(guān)元素的最大集合的勢(shì)。整數(shù)集和有理數(shù)集和所有的有理數(shù)集的子群都有秩1。

人物簡(jiǎn)介挪威數(shù)學(xué)家。他在中學(xué)時(shí)代已自學(xué)歐拉、拉格朗日和高斯等著名數(shù)學(xué)家的著作。讀大學(xué)時(shí)試圖用代數(shù)方法解一般五次方程，這使他發(fā)現(xiàn)：用根式解一般五次以上的方程是不可能的，在他1826年的著名論文中給出了證明，使得這個(gè)困擾數(shù)學(xué)家?guī)装倌甑膯?wèn)題終于得到了解決。他在與此有關(guān)的一系列工作中已經(jīng)引入了群和域的概念，發(fā)現(xiàn)元素相乘可交換的群對(duì)方程的可解性理論有重要意義。因此，后人把交換群稱為阿貝爾群，他還研究了一類代數(shù)方程，它們是可以用根式求解的，現(xiàn)在叫阿貝爾方程。阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)分析的發(fā)展及其嚴(yán)格化也作出了卓越的貢獻(xiàn)，其中不少結(jié)果以他的名字命名，我們熟知的有：阿貝爾積分、阿貝爾積分方程，關(guān)于導(dǎo)出阿貝爾函數(shù)的代數(shù)函數(shù)的積分的和的阿貝爾定理，無(wú)窮級(jí)數(shù)的阿貝爾判斂法，關(guān)于冪級(jí)數(shù)的阿貝爾定理等。他又與雅可比在友好的競(jìng)爭(zhēng)中共同創(chuàng)立了橢圓函數(shù)理論，盡管有如此杰出的成就，他卻沒(méi)有及時(shí)地得到數(shù)學(xué)界的承認(rèn)。他一生貧窮，并且由于得了肺病沒(méi)能得到一個(gè)教學(xué)職務(wù)。在他27歲那年，柏林大學(xué)終于聘他為數(shù)學(xué)教授，但聘書寄到時(shí)，已是他去世后第3天了。4